Страница 56 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

159. Подобны ли треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle BDC$, изображённые на рисунке $71$ (длины отрезков даны в сантиметрах)?

Рис. $71$

$36$

$20$

$18$

$9$

$10$

159. Подобны ли треугольники $ABD$ и $BDC$, изображённые на рисунке 71 (длины отрезков даны в сантиметрах)?

Рис. 71

Для того чтобы определить, подобны ли треугольники $ABD$ и $BDC$, проверим пропорциональность их сторон. Этот метод основывается на третьем признаке подобия треугольников (по трем сторонам), который гласит: если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Выпишем длины сторон каждого треугольника из данных на рисунке:

Для треугольника $ABD$:

• $AB = 36$
• $AD = 20$
• $BD = 18$

Для треугольника $BDC$:

• $BD = 18$
• $BC = 10$
• $DC = 9$

Чтобы проверить пропорциональность, нужно сопоставить соответствующие стороны. Обычно сопоставляют наибольшую сторону одного треугольника с наибольшей стороной другого, среднюю со средней и наименьшую с наименьшей.

Расположим стороны каждого треугольника в порядке убывания длины:

• $\triangle ABD$: $AB (36) > AD (20) > BD (18)$
• $\triangle BDC$: $BD (18) > BC (10) > DC (9)$

Теперь найдем отношения длин соответствующих сторон:

• Отношение наибольших сторон: $\frac{AB}{BD} = \frac{36}{18} = 2$
• Отношение средних сторон: $\frac{AD}{BC} = \frac{20}{10} = 2$
• Отношение наименьших сторон: $\frac{BD}{DC} = \frac{18}{9} = 2$

Все три отношения равны одному и тому же числу, которое является коэффициентом подобия $k=2$.

$\frac{AB}{BD} = \frac{AD}{BC} = \frac{BD}{DC} = 2$

Поскольку все соответствующие стороны треугольников $ABD$ и $BDC$ пропорциональны, эти треугольники подобны по третьему признаку подобия.

Ответ: да, треугольники $ABD$ и $BDC$ подобны.

160. Через вершины $A$ и $C$ треугольника $ABC$ проведена окружность, пересекающая стороны $AB$ и $BC$ в точках $P$ и $K$ соответственно. Докажите, что треугольники $ABC$ и $PBK$ подобны. Найдите стороны $AB$ и $BC$, если $PB = 4$ см, $BK = 5$ см, $PK = 6$ см, $AC = 18$ см.

160. Через вершины $A$ и $C$ треугольника $ABC$ проведена окружность, пересекающая стороны $AB$ и $BC$ в точках $P$ и $K$ соответственно. Докажите, что треугольники $ABC$ и $PBK$ подобны. Найдите стороны $AB$ и $BC$, если $PB = 4$ см, $BK = 5$ см, $PK = 6$ см, $AC = 18$ см.

Докажите, что треугольники ABC и PBK подобны.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $PBK$.

1. Угол $\angle B$ является общим для обоих треугольников, то есть $\angle ABC = \angle PBK$.

2. По условию, через точки $A$ и $C$ проходит окружность, которая пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $P$ и $K$ соответственно. Это означает, что точки $A$, $P$, $K$, $C$ лежат на одной окружности, а четырехугольник $APKC$ является вписанным в окружность.

3. Одно из свойств вписанного четырехугольника гласит, что сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. Следовательно, $\angle PAC + \angle PKC = 180^\circ$.

4. Углы $\angle BKP$ и $\angle PKC$ являются смежными, так как они вместе образуют развернутый угол на прямой $BC$. Таким образом, их сумма также равна $180^\circ$: $\angle BKP + \angle PKC = 180^\circ$.

5. Сравнивая два последних равенства, получаем: $\angle BKP = 180^\circ - \angle PKC$ и $\angle PAC = 180^\circ - \angle PKC$. Отсюда следует, что $\angle BKP = \angle PAC$.

6. Так как точка $P$ лежит на стороне $AB$, то угол $\angle PAC$ совпадает с углом $\angle BAC$. Значит, $\angle BKP = \angle BAC$.

Таким образом, в треугольниках $ABC$ и $PBK$ есть две пары равных углов: $\angle ABC = \angle PBK$ (общий угол) и $\angle BAC = \angle BKP$. Следовательно, треугольники $ABC$ и $PBK$ подобны по первому признаку подобия (по двум углам). Важно отметить правильное соответствие вершин: $\triangle ABC \sim \triangle KBP$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Найдите стороны AB и BC, если PB = 4 см, BK = 5 см, PK = 6 см, AC = 18 см.

Из доказанного подобия треугольников ($\triangle ABC \sim \triangle KBP$) следует, что их соответствующие стороны пропорциональны:

$\frac{AB}{KB} = \frac{BC}{BP} = \frac{AC}{KP}$

Подставим известные значения в это соотношение. Нам дано: $PB = 4$ см, $BK = 5$ см, $PK = 6$ см и $AC = 18$ см. (Заметим, что $BP=PB, KB=BK, KP=PK$).

Сначала найдем коэффициент подобия $k$, используя отношение известных сторон $AC$ и $KP$:

$k = \frac{AC}{KP} = \frac{18}{6} = 3$

Теперь, зная коэффициент подобия, мы можем найти длины сторон $AB$ и $BC$:

Из соотношения $\frac{AB}{KB} = k$ получаем:

$\frac{AB}{5} = 3 \Rightarrow AB = 5 \cdot 3 = 15$ см.

Из соотношения $\frac{BC}{BP} = k$ получаем:

$\frac{BC}{4} = 3 \Rightarrow BC = 4 \cdot 3 = 12$ см.

Ответ: $AB = 15$ см, $BC = 12$ см.

161. В треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ отмечена точка $M$.

Известно, что $AM = 8$ см, $\frac{MB}{AB} = \frac{AB}{BC} = \frac{1}{4}$. Найдите сторону $AC$.

161. В треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ отмечена точка $M$.

Известно, что $AM = 8$ см, $\frac{MB}{AB} = \frac{AB}{BC} = \frac{1}{4}$. Найдите сторону $AC$.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $MBA$.

1. Угол $\angle B$ является общим для обоих треугольников ($\angle ABC = \angle MBA$).

2. Из условия задачи известно, что $\frac{MB}{AB} = \frac{AB}{BC} = \frac{1}{4}$. Это означает, что две стороны одного треугольника ($MB$ и $AB$ в $\triangle MBA$) пропорциональны двум соответствующим сторонам другого треугольника ($AB$ и $BC$ в $\triangle ABC$).

По второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), мы можем заключить, что $\triangle MBA \sim \triangle ABC$.

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон равно коэффициенту подобия $k$.

$\frac{MB}{AB} = \frac{AB}{BC} = \frac{MA}{AC} = k$

Из условия мы знаем, что коэффициент подобия $k = \frac{1}{4}$.

Следовательно, мы можем записать:

$\frac{MA}{AC} = \frac{1}{4}$

В условии дано, что $AM = 8$ см. Подставим это значение в полученное равенство:

$\frac{8}{AC} = \frac{1}{4}$

Отсюда находим длину стороны $AC$:

$AC = 8 \cdot 4 = 32$ см.

Ответ: 32 см.

162. В треугольнике $ABC$ проведена высота $CE$. Известно, что $AE = 2$ см, $BE = 8$ см, $CE = 4$ см. Докажите, что $\angle ACB = 90^\circ$.

162. В треугольнике $ABC$ проведена высота $CE$. Известно, что $AE = 2$ см, $BE = 8$ см, $CE = 4$ см. Докажите, что $\angle ACB = 90^\circ$.

Поскольку $CE$ является высотой в треугольнике $ABC$, проведенной к стороне $AB$, то $CE$ перпендикулярна $AB$ ($CE \perp AB$). Это означает, что $\angle AEC = 90^{\circ}$ и $\angle BEC = 90^{\circ}$, и, следовательно, треугольники $AEC$ и $BEC$ являются прямоугольными.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AEC$. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В данном случае $AC$ — гипотенуза, а $AE$ и $CE$ — катеты. Найдем квадрат длины стороны $AC$:
$AC^2 = AE^2 + CE^2$
Подставив известные значения, получим:
$AC^2 = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $BEC$. Аналогично, по теореме Пифагора, где $BC$ — гипотенуза, а $BE$ и $CE$ — катеты, найдем квадрат длины стороны $BC$:
$BC^2 = BE^2 + CE^2$
Подставив известные значения, получим:
$BC^2 = 8^2 + 4^2 = 64 + 16 = 80$.

Длина стороны $AB$ треугольника $ABC$ равна сумме длин отрезков $AE$ и $BE$, так как точка $E$ лежит на стороне $AB$:
$AB = AE + BE = 2 + 8 = 10$ см.
Тогда квадрат длины стороны $AB$ равен:
$AB^2 = 10^2 = 100$.

Чтобы доказать, что $\angle ACB = 90^{\circ}$, необходимо проверить, выполняется ли для треугольника $ABC$ равенство из теоремы, обратной теореме Пифагора. Эта теорема гласит: если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным. Проверим равенство $AB^2 = AC^2 + BC^2$:
$AC^2 + BC^2 = 20 + 80 = 100$.
Мы видим, что $AB^2 = 100$ и $AC^2 + BC^2 = 100$.

Так как $AB^2 = AC^2 + BC^2$, то по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник $ABC$ является прямоугольным. Угол, лежащий напротив наибольшей стороны (гипотенузы) $AB$, является прямым. Этим углом является $\angle ACB$. Таким образом, $\angle ACB = 90^{\circ}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение, что $\angle ACB = 90^{\circ}$, доказано.

163. Найдите высоту прямоугольного треугольника, проведённую из вершины прямого угла, если она делит гипотенузу на отрезки длиной 12 см и 27 см.

163. Найдите высоту прямоугольного треугольника, проведенную из вершины прямого угла, если она делит гипотенузу на отрезки длиной 12 см и 27 см.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством высоты в прямоугольном треугольнике, проведенной из вершины прямого угла. Эта высота является средним пропорциональным (или средним геометрическим) для отрезков, на которые она делит гипотенузу.

Пусть $h$ — искомая высота, а $c_1$ и $c_2$ — длины отрезков, на которые высота делит гипотенузу.

По условию, $c_1 = 12$ см и $c_2 = 27$ см.

Формула, связывающая высоту и отрезки гипотенузы, выглядит так:

$h^2 = c_1 \cdot c_2$

Подставим в формулу данные из условия задачи:

$h^2 = 12 \cdot 27$

$h^2 = 324$

Чтобы найти высоту $h$, извлечем квадратный корень из полученного значения:

$h = \sqrt{324}$

$h = 18$ см.

Ответ: 18 см.

164. Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит её на отрезки длиной 40 см и 10 см. Найдите катеты треугольника.

164. Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит её на отрезки длиной 40 см и 10 см. Найдите катеты треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник, в котором из вершины прямого угла к гипотенузе проведена высота. Эта высота делит гипотенузу на два отрезка, которые являются проекциями катетов на гипотенузу. Обозначим длины этих отрезков как $c_a$ и $c_b$. По условию, $c_a = 40$ см и $c_b = 10$ см.

1. Найдем длину гипотенузы $c$. Гипотенуза равна сумме длин её отрезков: $c = c_a + c_b = 40 + 10 = 50$ см.

2. Для нахождения катетов воспользуемся метрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике. Квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

Найдем первый катет $a$, проекция которого на гипотенузу равна $c_a = 40$ см: $a^2 = c \cdot c_a$ $a^2 = 50 \cdot 40 = 2000$ $a = \sqrt{2000} = \sqrt{400 \cdot 5} = 20\sqrt{5}$ см.

Найдем второй катет $b$, проекция которого на гипотенузу равна $c_b = 10$ см: $b^2 = c \cdot c_b$ $b^2 = 50 \cdot 10 = 500$ $b = \sqrt{500} = \sqrt{100 \cdot 5} = 10\sqrt{5}$ см.

Ответ: длины катетов треугольника равны $20\sqrt{5}$ см и $10\sqrt{5}$ см.

165. Катет прямоугольного треугольника равен 15 см, а его проекция на гипотенузу — 9 см. Найдите гипотенузу треугольника.

165. Катет прямоугольного треугольника равен 15 см, а его проекция на гипотенузу — 9 см. Найдите гипотенузу треугольника.

Для решения этой задачи используется метрическое соотношение в прямоугольном треугольнике. Оно гласит, что квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

Пусть $a$ — длина данного катета, $c$ — длина гипотенузы, а $a_c$ — длина проекции катета $a$ на гипотенузу $c$.
Согласно условию задачи:
$a = 15$ см
$a_c = 9$ см

Математически это соотношение выражается следующей формулой:
$a^2 = c \cdot a_c$

Подставим известные значения в формулу, чтобы найти длину гипотенузы $c$:
$15^2 = c \cdot 9$
$225 = 9c$

Теперь решим полученное уравнение относительно $c$:
$c = \frac{225}{9}$
$c = 25$ см

Таким образом, длина гипотенузы треугольника равна 25 см.
Ответ: 25 см.

166. Найдите высоту и боковую сторону равнобокой трапеции, основания которой равны 10 см и 8 см, а диагонали перпендикулярны боковым сторонам.

166. Найдите высоту и боковую сторону равнобокой трапеции, основания которой равны 10 см и 8 см, а диагонали перпендикулярны боковым сторонам.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где AD и BC — основания, AB и CD — боковые стороны.

По условию задачи имеем: большее основание $AD = 10$ см; меньшее основание $BC = 8$ см. Трапеция равнобокая, следовательно, боковые стороны равны: $AB = CD$. Обозначим их длину как $c$. Диагональ перпендикулярна боковой стороне, например, $AC \perp CD$. Это означает, что треугольник ACD является прямоугольным с прямым углом при вершине C ($∠ACD = 90°$).

Проведем высоту CH из вершины C к основанию AD. Так как трапеция равнобокая, отрезок HD, который является проекцией боковой стороны CD на большее основание, можно найти по формуле:

$HD = \frac{AD - BC}{2}$

Подставим известные значения:

$HD = \frac{10 - 8}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD. В этом треугольнике AD является гипотенузой, а CH — это высота, проведенная из вершины прямого угла C к гипотенузе AD. Эта высота делит гипотенузу на отрезки AH и HD.

Найдем длину отрезка AH:

$AH = AD - HD = 10 - 1 = 9$ см.

Согласно свойству высоты в прямоугольном треугольнике, квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу:

$CH^2 = AH \cdot HD$

Пусть высота трапеции $h = CH$. Тогда:

$h^2 = 9 \cdot 1 = 9$

$h = \sqrt{9} = 3$ см.

Ответ: высота трапеции равна 3 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник CHD. Он образован высотой CH, отрезком HD и боковой стороной CD. Угол $∠CHD$ прямой.

В этом треугольнике CH и HD — катеты, а CD — гипотенуза. Нам известны длины катетов: $CH = h = 3$ см и $HD = 1$ см. Боковая сторона трапеции $c = CD$.

По теореме Пифагора:

$CD^2 = CH^2 + HD^2$

Подставим известные значения:

$c^2 = 3^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10$

$c = \sqrt{10}$ см.

Ответ: боковая сторона трапеции равна $\sqrt{10}$ см.

167. Перпендикуляр, проведенный из точки пересечения диагоналей ромба к стороне, делит ее на отрезки длиной 4 см и 25 см. Найдите диагонали ромба.

167. Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к стороне, делит её на отрезки длиной 4 см и 25 см. Найдите диагонали ромба.

Пусть дан ромб, диагонали которого пересекаются в точке O. По свойству ромба, его диагонали взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба (например, треугольник AOB, где AB - сторона ромба, а AO и BO - половины диагоналей).

Пусть OH — перпендикуляр, проведенный из точки O (вершины прямого угла) к стороне AB (гипотенузе). По условию, этот перпендикуляр делит сторону на отрезки длиной 4 см и 25 см. Обозначим их как $AH = 4$ см и $HB = 25$ см.

Длина стороны ромба AB, которая является гипотенузой в треугольнике AOB, равна сумме длин этих отрезков:
$AB = AH + HB = 4 + 25 = 29$ см.

В прямоугольном треугольнике действуют метрические соотношения. В частности, квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

Найдем половину первой диагонали (катет AO), используя его проекцию AH:
$AO^2 = AB \cdot AH$
$AO^2 = 29 \cdot 4 = 116$
$AO = \sqrt{116} = \sqrt{4 \cdot 29} = 2\sqrt{29}$ см.

Найдем половину второй диагонали (катет BO), используя его проекцию HB:
$BO^2 = AB \cdot HB$
$BO^2 = 29 \cdot 25 = 725$
$BO = \sqrt{725} = \sqrt{25 \cdot 29} = 5\sqrt{29}$ см.

Так как AO и BO — это половины диагоналей, то полные длины диагоналей ($d_1$ и $d_2$) будут в два раза больше:
$d_1 = 2 \cdot AO = 2 \cdot 2\sqrt{29} = 4\sqrt{29}$ см.
$d_2 = 2 \cdot BO = 2 \cdot 5\sqrt{29} = 10\sqrt{29}$ см.

Ответ: $4\sqrt{29}$ см и $10\sqrt{29}$ см.

168. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, делит большую боковую сторону на отрезки длиной 2 см и 32 см. Найдите периметр трапеции.

168. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, делит большую боковую сторону на отрезки длиной 2 см и 32 см. Найдите периметр трапеции.

Решение:

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, в которую вписана окружность. Пусть $AB$ будет меньшей боковой стороной, перпендикулярной основаниям $BC$ и $AD$ ($AB \perp AD$), а $CD$ — большей боковой стороной. Пусть точка $K$ — точка касания вписанной окружности со стороной $CD$.

По условию, точка касания делит большую боковую сторону на отрезки длиной 2 см и 32 см. Пусть $CK = 2$ см и $KD = 32$ см. Тогда длина стороны $CD$ равна:

$CD = CK + KD = 2 + 32 = 34$ см.

Важным свойством любого четырехугольника, в который можно вписать окружность, является равенство сумм длин его противоположных сторон. Для нашей трапеции это означает:

$AB + CD = BC + AD$

Периметр трапеции $P$ равен сумме длин всех ее сторон:

$P = AB + BC + CD + AD = (AB + CD) + (BC + AD)$

Используя свойство описанного четырехугольника, получаем:

$P = 2(AB + CD)$

Мы уже знаем $CD = 34$ см. Чтобы найти периметр, нам нужно найти длину стороны $AB$. Сторона $AB$ является высотой трапеции. Так как в трапецию вписана окружность, ее высота равна диаметру этой окружности. Если $r$ — радиус вписанной окружности, то $AB = 2r$.

Для нахождения радиуса проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. Мы получим прямоугольный треугольник $CHD$ с гипотенузой $CD = 34$ см. Катет $CH$ равен высоте трапеции, то есть $CH = AB = 2r$.

Найдем второй катет $HD$. По свойству касательных, проведенных из одной вершины к окружности, отрезки касательных равны. Если окружность касается оснований $BC$ и $AD$ в точках $N$ и $L$ соответственно, то $CN = CK = 2$ см и $DL = DK = 32$ см. Поскольку трапеция прямоугольная, отрезки оснований, прилежащие к прямой боковой стороне, равны радиусу вписанной окружности. Таким образом, основания трапеции равны:

$BC = r + CN = r + 2$

$AD = r + DL = r + 32$

Катет $HD$ равен разности длин оснований:

$HD = AD - AH = AD - BC = (r + 32) - (r + 2) = 30$ см.

Теперь применим теорему Пифагора для треугольника $CHD$:

$CH^2 + HD^2 = CD^2$

$(2r)^2 + 30^2 = 34^2$

$4r^2 + 900 = 1156$

$4r^2 = 1156 - 900 = 256$

$r^2 = \frac{256}{4} = 64$

$r = \sqrt{64} = 8$ см.

Теперь находим высоту трапеции $AB$:

$AB = 2r = 2 \cdot 8 = 16$ см.

Наконец, вычисляем периметр трапеции:

$P = 2(AB + CD) = 2(16 + 34) = 2 \cdot 50 = 100$ см.

Ответ: 100 см.