Номер 167, страница 56 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

167. Перпендикуляр, проведенный из точки пересечения диагоналей ромба к стороне, делит ее на отрезки длиной 4 см и 25 см. Найдите диагонали ромба.

167. Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к стороне, делит её на отрезки длиной 4 см и 25 см. Найдите диагонали ромба.

Пусть дан ромб, диагонали которого пересекаются в точке O. По свойству ромба, его диагонали взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба (например, треугольник AOB, где AB - сторона ромба, а AO и BO - половины диагоналей).

Пусть OH — перпендикуляр, проведенный из точки O (вершины прямого угла) к стороне AB (гипотенузе). По условию, этот перпендикуляр делит сторону на отрезки длиной 4 см и 25 см. Обозначим их как $AH = 4$ см и $HB = 25$ см.

Длина стороны ромба AB, которая является гипотенузой в треугольнике AOB, равна сумме длин этих отрезков:
$AB = AH + HB = 4 + 25 = 29$ см.

В прямоугольном треугольнике действуют метрические соотношения. В частности, квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

Найдем половину первой диагонали (катет AO), используя его проекцию AH:
$AO^2 = AB \cdot AH$
$AO^2 = 29 \cdot 4 = 116$
$AO = \sqrt{116} = \sqrt{4 \cdot 29} = 2\sqrt{29}$ см.

Найдем половину второй диагонали (катет BO), используя его проекцию HB:
$BO^2 = AB \cdot HB$
$BO^2 = 29 \cdot 25 = 725$
$BO = \sqrt{725} = \sqrt{25 \cdot 29} = 5\sqrt{29}$ см.

Так как AO и BO — это половины диагоналей, то полные длины диагоналей ($d_1$ и $d_2$) будут в два раза больше:
$d_1 = 2 \cdot AO = 2 \cdot 2\sqrt{29} = 4\sqrt{29}$ см.
$d_2 = 2 \cdot BO = 2 \cdot 5\sqrt{29} = 10\sqrt{29}$ см.

Ответ: $4\sqrt{29}$ см и $10\sqrt{29}$ см.