Номер 170, страница 57 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

170. Дан отрезок длиной 1 см. Постройте отрезок длиной $\sqrt{5}$ см.

170. Дан отрезок длиной 1 см. Постройте отрезок длиной $\sqrt{5}$ см.

Для построения отрезка длиной $\sqrt{5}$ см, имея в распоряжении отрезок длиной 1 см, циркуль и линейку, воспользуемся теоремой Пифагора. Согласно этой теореме, в прямоугольном треугольнике с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$ выполняется равенство $a^2 + b^2 = c^2$.

Мы хотим построить отрезок, длина которого $c = \sqrt{5}$ см. Следовательно, квадрат его длины должен быть равен $c^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$. Нам нужно найти такие длины катетов $a$ и $b$, которые можно построить на основе единичного отрезка, и для которых $a^2 + b^2 = 5$. Легко подобрать целочисленные значения: если взять $a = 1$ см и $b = 2$ см, то $1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.

Таким образом, задача сводится к построению прямоугольного треугольника с катетами 1 см и 2 см. Гипотенуза этого треугольника и будет искомым отрезком.

Построение выполняется следующим образом. Сначала начертим произвольную прямую и отметим на ней точку A. Затем с помощью циркуля, установив его раствор равным данному отрезку в 1 см, отложим на прямой от точки A отрезок AB длиной 2 см (для этого нужно отложить единичный отрезок два раза подряд в одном направлении). Далее в точке A построим прямую, перпендикулярную исходной, используя циркуль и линейку (это стандартное геометрическое построение). На этой перпендикулярной прямой отложим от точки A отрезок AC длиной 1 см. Наконец, соединим точки B и C.

В результате будет построен прямоугольный треугольник ABC с прямым углом A. Его катеты равны $AC = 1$ см и $AB = 2$ см. Длина гипотенузы BC, согласно теореме Пифагора, вычисляется как:

$BC = \sqrt{AC^2 + AB^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$ см.

Следовательно, отрезок BC является искомым отрезком длиной $\sqrt{5}$ см.

Ответ: Искомый отрезок длиной $\sqrt{5}$ см строится как гипотенуза прямоугольного треугольника, катеты которого равны 1 см и 2 см. Построение осуществляется с помощью циркуля и линейки, используя данный отрезок длиной 1 см для откладывания длин катетов.