Номер 169, страница 57 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

169. Точка касания окружности, вписанной в равнобокую трапецию, делит её боковую сторону на отрезки длиной 8 см и 2 см. Найдите радиус вписанной окружности и основания трапеции.

169. Точка касания окружности, вписанной в равнобокую трапецию, делит её боковую сторону на отрезки длиной 8 см и 2 см. Найдите радиус вписанной окружности и основания трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$, в которую вписана окружность. $AD$ и $BC$ — основания, $AB$ и $CD$ — боковые стороны. Пусть точка $K$ — точка касания окружности с боковой стороной $AB$.

По условию, точка касания делит боковую сторону на отрезки 8 см и 2 см. Пусть $AK = 8$ см и $KB = 2$ см. Тогда длина боковой стороны $c$ равна: $c = AB = AK + KB = 8 + 2 = 10$ см.

Основания трапеции

Воспользуемся свойством касательных, проведенных к окружности из одной точки: отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.

Пусть окружность касается оснований $BC$ и $AD$ в точках $L$ и $N$ соответственно.Из вершины $A$ проведены касательные $AK$ и $AN$, следовательно, $AN = AK = 8$ см.Из вершины $B$ проведены касательные $BK$ и $BL$, следовательно, $BL = BK = 2$ см.

Так как трапеция равнобокая, она симметрична относительно оси, проходящей через середины оснований. Поэтому отрезки, на которые делит точка касания $M$ сторону $CD$, равны соответствующим отрезкам на стороне $AB$. То есть $DM = 8$ см и $CM = 2$ см.

Верхнее основание $BC$ состоит из двух отрезков касательных из вершин $B$ и $C$: $BC = BL + LC$. Так как $LC = CM = 2$ см, то $BC = 2 + 2 = 4$ см.

Нижнее основание $AD$ состоит из двух отрезков касательных из вершин $A$ и $D$: $AD = AN + ND$. Так как $ND = DM = 8$ см, то $AD = 8 + 8 = 16$ см.

Ответ: основания трапеции равны 4 см и 16 см.

Радиус вписанной окружности

Высота трапеции, в которую можно вписать окружность, равна диаметру этой окружности: $h = 2r$. Найдем высоту трапеции. Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ к основанию $AD$.

В равнобокой трапеции отрезок $AH$, отсекаемый высотой на большем основании, вычисляется по формуле: $AH = \frac{AD - BC}{2}$.

Подставим найденные значения оснований: $AH = \frac{16 - 4}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (где $\angle H = 90^\circ$). Катет $AH = 6$ см, гипотенуза $AB = 10$ см. По теореме Пифагора найдем катет $BH$, который является высотой трапеции:

$AB^2 = AH^2 + BH^2$

$h^2 = BH^2 = AB^2 - AH^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$

$h = \sqrt{64} = 8$ см.

Так как высота равна диаметру вписанной окружности ($h = 2r$), то радиус $r$ равен половине высоты:

$r = \frac{h}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Ответ: радиус вписанной окружности равен 4 см.