Номер 168, страница 56 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

168. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, делит большую боковую сторону на отрезки длиной 2 см и 32 см. Найдите периметр трапеции.

168. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, делит большую боковую сторону на отрезки длиной 2 см и 32 см. Найдите периметр трапеции.

Решение:

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, в которую вписана окружность. Пусть $AB$ будет меньшей боковой стороной, перпендикулярной основаниям $BC$ и $AD$ ($AB \perp AD$), а $CD$ — большей боковой стороной. Пусть точка $K$ — точка касания вписанной окружности со стороной $CD$.

По условию, точка касания делит большую боковую сторону на отрезки длиной 2 см и 32 см. Пусть $CK = 2$ см и $KD = 32$ см. Тогда длина стороны $CD$ равна:

$CD = CK + KD = 2 + 32 = 34$ см.

Важным свойством любого четырехугольника, в который можно вписать окружность, является равенство сумм длин его противоположных сторон. Для нашей трапеции это означает:

$AB + CD = BC + AD$

Периметр трапеции $P$ равен сумме длин всех ее сторон:

$P = AB + BC + CD + AD = (AB + CD) + (BC + AD)$

Используя свойство описанного четырехугольника, получаем:

$P = 2(AB + CD)$

Мы уже знаем $CD = 34$ см. Чтобы найти периметр, нам нужно найти длину стороны $AB$. Сторона $AB$ является высотой трапеции. Так как в трапецию вписана окружность, ее высота равна диаметру этой окружности. Если $r$ — радиус вписанной окружности, то $AB = 2r$.

Для нахождения радиуса проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. Мы получим прямоугольный треугольник $CHD$ с гипотенузой $CD = 34$ см. Катет $CH$ равен высоте трапеции, то есть $CH = AB = 2r$.

Найдем второй катет $HD$. По свойству касательных, проведенных из одной вершины к окружности, отрезки касательных равны. Если окружность касается оснований $BC$ и $AD$ в точках $N$ и $L$ соответственно, то $CN = CK = 2$ см и $DL = DK = 32$ см. Поскольку трапеция прямоугольная, отрезки оснований, прилежащие к прямой боковой стороне, равны радиусу вписанной окружности. Таким образом, основания трапеции равны:

$BC = r + CN = r + 2$

$AD = r + DL = r + 32$

Катет $HD$ равен разности длин оснований:

$HD = AD - AH = AD - BC = (r + 32) - (r + 2) = 30$ см.

Теперь применим теорему Пифагора для треугольника $CHD$:

$CH^2 + HD^2 = CD^2$

$(2r)^2 + 30^2 = 34^2$

$4r^2 + 900 = 1156$

$4r^2 = 1156 - 900 = 256$

$r^2 = \frac{256}{4} = 64$

$r = \sqrt{64} = 8$ см.

Теперь находим высоту трапеции $AB$:

$AB = 2r = 2 \cdot 8 = 16$ см.

Наконец, вычисляем периметр трапеции:

$P = 2(AB + CD) = 2(16 + 34) = 2 \cdot 50 = 100$ см.

Ответ: 100 см.