Страница 63 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

227. Как изменится площадь прямоугольника, если:

1) одну из его сторон увеличить в 8 раз;

2) одну сторону уменьшить в 11 раз, а другую — в 10 раз;

3) одну сторону увеличить в $\sqrt{8}$ раз, а другую уменьшить в $\sqrt{2}$ раз?

227. Как изменится площадь прямоугольника, если:

1) одну из его сторон увеличить в 8 раз;

2) одну сторону уменьшить в 11 раз, а другую — в 10 раз;

3) одну сторону увеличить в $\sqrt{8}$ раз, а другую уменьшить в $\sqrt{2}$ раз?

Пусть первоначальные стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Тогда его площадь $S$ вычисляется по формуле: $S = a \cdot b$. Рассмотрим, как изменится площадь в каждом из случаев.

1) одну из его сторон увеличить в 8 раз;
Пусть одну сторону, например $a$, увеличили в 8 раз. Новая длина этой стороны станет $a_1 = 8a$. Вторая сторона $b$ осталась без изменений. Новая площадь $S_1$ будет равна: $S_1 = a_1 \cdot b = (8a) \cdot b = 8 \cdot (ab)$. Так как первоначальная площадь $S = ab$, то $S_1 = 8S$. Чтобы найти, во сколько раз изменилась площадь, найдем отношение новой площади к первоначальной: $\frac{S_1}{S} = \frac{8S}{S} = 8$. Таким образом, площадь прямоугольника увеличится в 8 раз.
Ответ: увеличится в 8 раз.

2) одну сторону уменьшить в 11 раз, а другую — в 10 раз;
Уменьшим одну сторону $a$ в 11 раз, ее новая длина будет $a_2 = \frac{a}{11}$. Другую сторону $b$ уменьшим в 10 раз, ее новая длина станет $b_2 = \frac{b}{10}$. Новая площадь $S_2$ будет равна: $S_2 = a_2 \cdot b_2 = \frac{a}{11} \cdot \frac{b}{10} = \frac{ab}{110}$. Так как $S = ab$, то $S_2 = \frac{S}{110}$. Найдем отношение новой площади к первоначальной: $\frac{S_2}{S} = \frac{\frac{S}{110}}{S} = \frac{1}{110}$. Следовательно, площадь прямоугольника уменьшится в 110 раз.
Ответ: уменьшится в 110 раз.

3) одну сторону увеличить в $\sqrt{8}$ раз, а другую уменьшить в $\sqrt{2}$ раз?
Увеличим одну сторону $a$ в $\sqrt{8}$ раз. Новая длина этой стороны будет $a_3 = a \cdot \sqrt{8}$. Уменьшим другую сторону $b$ в $\sqrt{2}$ раз. Новая длина этой стороны будет $b_3 = \frac{b}{\sqrt{2}}$. Новая площадь $S_3$ будет равна: $S_3 = a_3 \cdot b_3 = (a \sqrt{8}) \cdot (\frac{b}{\sqrt{2}}) = ab \cdot \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}$. Найдем, во сколько раз изменилась площадь, вычислив отношение $\frac{S_3}{S}$: $\frac{S_3}{S} = \frac{ab \cdot \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}}{ab} = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{8}{2}} = \sqrt{4} = 2$. Это означает, что $S_3 = 2S$. Таким образом, площадь прямоугольника увеличится в 2 раза.
Ответ: увеличится в 2 раза.

228. Биссектриса угла прямоугольника делит одну из его сторон на отрезки длиной 4 см и 7 см. Найдите площадь прямоугольника. Сколько решений имеет задача?

228. Биссектриса угла прямоугольника делит одну из его сторон на отрезки длиной 4 см и 7 см. Найдите площадь прямоугольника. Сколько решений имеет задача?

Пусть дан прямоугольник, и $AK$ — биссектриса одного из его углов, например, угла $A$. Поскольку угол прямоугольника равен $90^\circ$, биссектриса делит его на два угла по $45^\circ$.

Биссектриса $AK$ пересекает одну из противолежащих сторон. Рассмотрим случай, когда она пересекает сторону $BC$ в точке $K$. В этом случае образуется прямоугольный треугольник $\triangle ABK$. В этом треугольнике $\angle B = 90^\circ$ и $\angle BAK = 45^\circ$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому третий угол $\angle BKA = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Так как два угла в треугольнике $\triangle ABK$ равны, он является равнобедренным, и сторона $AB$ равна отрезку $BK$ ($AB=BK$).

По условию, сторона $BC$ делится точкой $K$ на отрезки длиной 4 см и 7 см. Это означает, что длина всей стороны $BC$ равна $4 + 7 = 11$ см. Отрезок $BK$ может быть равен либо 4 см, либо 7 см. Это приводит к двум возможным случаям.

Случай 1:
Пусть отрезок $BK = 4$ см, тогда второй отрезок $KC = 7$ см.Поскольку $AB=BK$, то длина стороны $AB$ равна 4 см.Длина второй стороны $BC = BK + KC = 4 + 7 = 11$ см.Площадь прямоугольника в этом случае составляет: $S_1 = AB \cdot BC = 4 \text{ см} \cdot 11 \text{ см} = 44 \text{ см}^2$.

Случай 2:
Пусть отрезок $BK = 7$ см, тогда второй отрезок $KC = 4$ см.Поскольку $AB=BK$, то длина стороны $AB$ равна 7 см.Длина второй стороны $BC = BK + KC = 7 + 4 = 11$ см.Площадь прямоугольника в этом случае составляет: $S_2 = AB \cdot BC = 7 \text{ см} \cdot 11 \text{ см} = 77 \text{ см}^2$.

Если бы биссектриса пересекала другую противоположную сторону ($CD$), рассуждения были бы аналогичными и привели бы к таким же результатам.

Ответ: Площадь прямоугольника может быть равна 44 см$^2$ или 77 см$^2$.

Как показано выше, существуют два различных набора размеров для прямоугольника, которые удовлетворяют условиям задачи: прямоугольник со сторонами 4 см и 11 см и прямоугольник со сторонами 7 см и 11 см. Оба эти варианта являются корректными. Следовательно, задача имеет два решения.

Ответ: Задача имеет два решения.

229. Биссектриса угла прямоугольника делит его диагональ на отрезки длиной 1 см и 3 см. Найдите площадь прямоугольника.

229. Биссектриса угла прямоугольника делит его диагональ на отрезки длиной 1 см и 3 см. Найдите площадь прямоугольника.

Пусть дан прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB$ и $AD$. Пусть биссектриса угла $A$ пересекает диагональ $BD$ в точке $K$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Он является прямоугольным, так как угол $A$ в прямоугольнике равен $90^\circ$. $AK$ — биссектриса угла $A$ в этом треугольнике. По свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону (в данном случае диагональ $BD$) на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Таким образом, выполняется соотношение:

$ \frac{AB}{AD} = \frac{BK}{KD} $

По условию задачи, биссектриса делит диагональ на отрезки длиной 1 см и 3 см. Это означает, что возможны два случая, но в любом из них общая длина диагонали $BD$ будет равна $1 + 3 = 4$ см.

Случай 1: $BK = 1$ см и $KD = 3$ см.

Из свойства биссектрисы следует:$ \frac{AB}{AD} = \frac{1}{3} $, откуда $AD = 3 \cdot AB$.

Теперь применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $ABD$:$AB^2 + AD^2 = BD^2$.Подставим известные соотношения:$AB^2 + (3 \cdot AB)^2 = 4^2$$AB^2 + 9 \cdot AB^2 = 16$$10 \cdot AB^2 = 16$$AB^2 = \frac{16}{10} = 1.6$

Площадь прямоугольника $S$ равна произведению его сторон: $S = AB \cdot AD$.Поскольку $AD = 3 \cdot AB$, то $S = AB \cdot (3 \cdot AB) = 3 \cdot AB^2$.Подставим найденное значение $AB^2$:$S = 3 \cdot 1.6 = 4.8 \text{ см}^2$.

Случай 2: $BK = 3$ см и $KD = 1$ см.

Тогда из свойства биссектрисы следует:$ \frac{AB}{AD} = \frac{3}{1} $, откуда $AB = 3 \cdot AD$.

По теореме Пифагора для треугольника $ABD$:$AB^2 + AD^2 = BD^2$$(3 \cdot AD)^2 + AD^2 = 4^2$$9 \cdot AD^2 + AD^2 = 16$$10 \cdot AD^2 = 16$$AD^2 = 1.6$

Площадь прямоугольника: $S = AB \cdot AD = (3 \cdot AD) \cdot AD = 3 \cdot AD^2$.Подставим значение $AD^2$:$S = 3 \cdot 1.6 = 4.8 \text{ см}^2$.

Как видим, в обоих случаях результат для площади одинаков.

Ответ: $4.8 \text{ см}^2$.

230. Стороны двух данных квадратов равны $a$ и $b$ ($a > b$). Постройте квадрат, площадь которого равна $4a^2 - b^2$.

230. Стороны двух данных квадратов равны $a$ и $b (a > b)$. Постройте квадрат, площадь которого равна $4a^2 - b^2$.

Пусть сторона искомого квадрата равна $x$. Тогда его площадь $S$ равна $x^2$. Согласно условию задачи, площадь квадрата должна быть равна $4a^2 - b^2$. Таким образом, мы получаем уравнение:

$x^2 = 4a^2 - b^2$

Мы можем переписать правую часть уравнения, заметив, что $4a^2 = (2a)^2$. Тогда уравнение принимает вид:

$x^2 = (2a)^2 - b^2$

Это уравнение соответствует теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, в котором $2a$ является гипотенузой, а $x$ и $b$ — катетами ($c^2 = p^2 + q^2 \Rightarrow p^2 = c^2 - q^2$). Следовательно, для построения стороны искомого квадрата $x$, нам необходимо построить прямоугольный треугольник с гипотенузой длиной $2a$ и одним катетом длиной $b$. Второй катет этого треугольника будет искомой стороной $x$.

Алгоритм построения:

1. Построим отрезок длиной $2a$. Для этого на произвольной прямой отложим два раза подряд отрезок длиной $a$.
2. Построим прямой угол. Обозначим его вершину буквой C.
3. На одной из сторон прямого угла отложим от вершины C отрезок $CB$, равный по длине отрезку $b$.
4. Из точки B как из центра проведем дугу окружности радиусом $2a$ так, чтобы она пересекла вторую сторону прямого угла. Точку пересечения обозначим A. (Такое построение возможно, так как по условию $a > b$, следовательно $2a > 2b \ge b$, то есть гипотенуза $2a$ больше катета $b$).
5. Соединим точки A и B. Мы получим прямоугольный треугольник ABC, в котором $\angle C = 90^\circ$, катет $CB = b$ и гипотенуза $AB = 2a$.
6. По теореме Пифагора, квадрат второго катета $AC$ равен $AC^2 = AB^2 - CB^2 = (2a)^2 - b^2 = 4a^2 - b^2$. Таким образом, отрезок $AC$ является стороной искомого квадрата.
7. Используя отрезок $AC$ как сторону, строим квадрат. Например, из точек A и C восставляем перпендикуляры к прямой AC и откладываем на них отрезки, равные $AC$. Соединив концы этих отрезков, получим искомый квадрат.

Ответ: Искомый квадрат — это квадрат, построенный на катете прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна $2a$, а другой катет равен $b$.

231. Найдите площадь параллелограмма, сторона которого равна 16 см, а высота, проведённая к ней, — 9 см.

231. Найдите площадь параллелограмма, сторона которого равна 16 см, а высота, проведённая к ней, — 9 см.

Площадь параллелограмма ($S$) вычисляется по формуле произведения его стороны ($a$) на высоту ($h$), проведённую к этой стороне:
$S = a \cdot h$

По условию задачи нам даны:
Сторона параллелограмма $a = 16$ см.
Высота, проведённая к этой стороне, $h = 9$ см.

Подставим эти значения в формулу для нахождения площади:
$S = 16 \text{ см} \cdot 9 \text{ см} = 144 \text{ см}^2$

Ответ: 144 см².

232. Какие из параллелограммов, изображённых на рисунке 77, равновелики?

Рис. 77

а

б

в

г

д

е

ж

232. Какие из параллелограммов, изображённых на рисунке 77, равновелики?

Рис. 77

a

б

в

г

д

е

ж

Равновеликими называются фигуры, имеющие одинаковую площадь. Чтобы определить, какие из параллелограммов, изображённых на рисунке, равновелики, найдём площадь каждой фигуры. Примем сторону одной клетки сетки за 1 единицу длины.

Площадь параллелограмма можно вычислить по формуле $S = a \cdot h$, где $a$ – длина основания, а $h$ – высота, проведённая к этому основанию.

а

Фигура 'а' – это параллелограмм. Длина его горизонтального основания $a$ равна 3 единицам. Высота $h$, проведённая к этому основанию, также равна 3 единицам.
Площадь фигуры 'а': $S_а = 3 \cdot 3 = 9$ (кв. ед.).

б

Фигура 'б' является трапецией, а не параллелограммом, поскольку у неё параллельны только две стороны (горизонтальные основания), а две другие стороны непараллельны. Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$.
Длины оснований равны 2 и 4 единицам, высота равна 3 единицам.
Площадь фигуры 'б': $S_б = \frac{2+4}{2} \cdot 3 = 3 \cdot 3 = 9$ (кв. ед.).

в

Фигура 'в' – это параллелограмм. Длина его горизонтального основания $a$ равна 5 единицам, а высота $h$ равна 2 единицам.
Площадь фигуры 'в': $S_в = 5 \cdot 2 = 10$ (кв. ед.).

г

Фигура 'г' – это квадрат, который является частным случаем параллелограмма. Длина его стороны равна 3 единицам.
Площадь фигуры 'г': $S_г = 3^2 = 9$ (кв. ед.).

д

Фигура 'д' – это квадрат. Длина его стороны равна 4 единицам.
Площадь фигуры 'д': $S_д = 4^2 = 16$ (кв. ед.).

е

Фигура 'е' – это параллелограмм. Длина его горизонтального основания $a$ равна 4 единицам, а соответствующая высота $h$ равна 4 единицам.
Площадь фигуры 'е': $S_е = 4 \cdot 4 = 16$ (кв. ед.).

ж

Фигура 'ж' – это прямоугольник, который также является частным случаем параллелограмма. Длины его сторон равны 2 и 4 единицам.
Площадь фигуры 'ж': $S_ж = 2 \cdot 4 = 8$ (кв. ед.).

Теперь сравним площади всех фигур, которые являются параллелограммами, чтобы найти равновеликие. Фигура 'б' не является параллелограммом, поэтому мы не будем её учитывать при ответе на вопрос задачи.

Площади параллелограммов:

• $S_а = 9$ кв. ед.
• $S_в = 10$ кв. ед.
• $S_г = 9$ кв. ед.
• $S_д = 16$ кв. ед.
• $S_е = 16$ кв. ед.
• $S_ж = 8$ кв. ед.

Сравнивая полученные значения, можно выделить две группы равновеликих параллелограммов:

1. Параллелограммы 'а' и 'г' имеют одинаковую площадь, равную 9 кв. ед.
2. Параллелограммы 'д' и 'е' имеют одинаковую площадь, равную 16 кв. ед.

Ответ: Равновеликими являются параллелограммы 'а' и 'г', а также параллелограммы 'д' и 'е'.