Номер 229, страница 63 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

229. Биссектриса угла прямоугольника делит его диагональ на отрезки длиной 1 см и 3 см. Найдите площадь прямоугольника.

229. Биссектриса угла прямоугольника делит его диагональ на отрезки длиной 1 см и 3 см. Найдите площадь прямоугольника.

Пусть дан прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB$ и $AD$. Пусть биссектриса угла $A$ пересекает диагональ $BD$ в точке $K$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Он является прямоугольным, так как угол $A$ в прямоугольнике равен $90^\circ$. $AK$ — биссектриса угла $A$ в этом треугольнике. По свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону (в данном случае диагональ $BD$) на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Таким образом, выполняется соотношение:

$ \frac{AB}{AD} = \frac{BK}{KD} $

По условию задачи, биссектриса делит диагональ на отрезки длиной 1 см и 3 см. Это означает, что возможны два случая, но в любом из них общая длина диагонали $BD$ будет равна $1 + 3 = 4$ см.

Случай 1: $BK = 1$ см и $KD = 3$ см.

Из свойства биссектрисы следует:$ \frac{AB}{AD} = \frac{1}{3} $, откуда $AD = 3 \cdot AB$.

Теперь применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $ABD$:$AB^2 + AD^2 = BD^2$.Подставим известные соотношения:$AB^2 + (3 \cdot AB)^2 = 4^2$$AB^2 + 9 \cdot AB^2 = 16$$10 \cdot AB^2 = 16$$AB^2 = \frac{16}{10} = 1.6$

Площадь прямоугольника $S$ равна произведению его сторон: $S = AB \cdot AD$.Поскольку $AD = 3 \cdot AB$, то $S = AB \cdot (3 \cdot AB) = 3 \cdot AB^2$.Подставим найденное значение $AB^2$:$S = 3 \cdot 1.6 = 4.8 \text{ см}^2$.

Случай 2: $BK = 3$ см и $KD = 1$ см.

Тогда из свойства биссектрисы следует:$ \frac{AB}{AD} = \frac{3}{1} $, откуда $AB = 3 \cdot AD$.

По теореме Пифагора для треугольника $ABD$:$AB^2 + AD^2 = BD^2$$(3 \cdot AD)^2 + AD^2 = 4^2$$9 \cdot AD^2 + AD^2 = 16$$10 \cdot AD^2 = 16$$AD^2 = 1.6$

Площадь прямоугольника: $S = AB \cdot AD = (3 \cdot AD) \cdot AD = 3 \cdot AD^2$.Подставим значение $AD^2$:$S = 3 \cdot 1.6 = 4.8 \text{ см}^2$.

Как видим, в обоих случаях результат для площади одинаков.

Ответ: $4.8 \text{ см}^2$.