Номер 224, страница 62 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

224. Квадрат и прямоугольник равновелики. Сторона квадрата равна 12 см, а стороны прямоугольника относятся как 4 : 9. Найдите стороны прямоугольника.

224. Квадрат и прямоугольник равновелики. Сторона квадрата равна 12 см, а стороны прямоугольника относятся как 4 : 9. Найдите стороны прямоугольника.

По условию задачи, квадрат и прямоугольник равновелики. Это означает, что их площади равны. Обозначим сторону квадрата как $a_{кв}$, а стороны прямоугольника как $a_{пр}$ и $b_{пр}$.

1. Сначала вычислим площадь квадрата. Сторона квадрата $a_{кв} = 12$ см. Площадь квадрата ($S_{кв}$) находится по формуле:

$S_{кв} = a_{кв}^2 = 12^2 = 144$ см².

2. Так как фигуры равновелики, площадь прямоугольника ($S_{пр}$) равна площади квадрата:

$S_{пр} = S_{кв} = 144$ см².

3. Стороны прямоугольника относятся как $4:9$. Мы можем выразить их через неизвестный коэффициент пропорциональности $x$:

Одна сторона $a_{пр} = 4x$.

Другая сторона $b_{пр} = 9x$.

4. Площадь прямоугольника также вычисляется как произведение его сторон: $S_{пр} = a_{пр} \cdot b_{пр}$. Подставим выражения для сторон и известное значение площади, чтобы составить уравнение:

$(4x) \cdot (9x) = 144$

$36x^2 = 144$

5. Решим полученное уравнение, чтобы найти значение $x$:

$x^2 = \frac{144}{36}$

$x^2 = 4$

$x = \sqrt{4} = 2$

Мы берем только положительное значение корня, так как длина стороны не может быть отрицательной.

6. Теперь найдем длины сторон прямоугольника, подставив значение $x=2$:

Первая сторона: $a_{пр} = 4x = 4 \cdot 2 = 8$ см.

Вторая сторона: $b_{пр} = 9x = 9 \cdot 2 = 18$ см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 8 см и 18 см.