Номер 217, страница 62 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

217. Все стороны шестиугольника, вписанного в окружность, равны. Найдите его углы.

217. Все стороны шестиугольника, вписанного в окружность, равны. Найдите его углы.

Поскольку шестиугольник вписан в окружность и все его стороны равны, он является правильным шестиугольником. У правильного многоугольника равны не только все стороны, но и все внутренние углы. Найдем величину этих углов.

Пусть $O$ — центр окружности, в которую вписан шестиугольник $ABCDEF$. Если соединить центр $O$ с вершинами шестиугольника, то шестиугольник разобьется на шесть треугольников: $\triangle OAB, \triangle OBC, \triangle OCD, \triangle ODE, \triangle OEF, \triangle OFA$.

Стороны $OA, OB, \dots, OF$ этих треугольников равны между собой как радиусы одной окружности. Стороны $AB, BC, \dots, FA$ равны по условию задачи. Следовательно, все шесть треугольников равны друг другу по трем сторонам (по признаку SSS).

Из равенства треугольников следует равенство их углов. В частности, равны центральные углы, опирающиеся на стороны шестиугольника: $\angle AOB = \angle BOC = \dots = \angle FOA$. Сумма этих шести углов составляет полный оборот, то есть $360^\circ$. Значит, каждый центральный угол равен:

$\angle AOB = \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$

Рассмотрим любой из этих треугольников, например $\triangle OAB$. Он равнобедренный, так как $OA = OB$. Углы при его основании равны: $\angle OAB = \angle OBA$. Так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, то:

$\angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^\circ$

$2\angle OAB + 60^\circ = 180^\circ$

$2\angle OAB = 120^\circ$

$\angle OAB = 60^\circ$

Таким образом, все углы в треугольнике $\triangle OAB$ равны $60^\circ$, то есть он является равносторонним.

Каждый внутренний угол шестиугольника, например $\angle ABC$, складывается из двух углов при основаниях смежных треугольников, в данном случае $\angle OBA$ и $\angle OBC$. Так как все треугольники равносторонние, то $\angle OBA = 60^\circ$ и $\angle OBC = 60^\circ$.

Величина внутреннего угла шестиугольника равна:

$\angle ABC = \angle OBA + \angle OBC = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$

Поскольку шестиугольник правильный, все его углы равны.

Этот же результат можно получить, используя формулу для нахождения угла правильного $n$-угольника: $\alpha = \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$. Для $n=6$ получаем $\alpha = \frac{(6-2) \times 180^\circ}{6} = \frac{4 \times 180^\circ}{6} = 120^\circ$.

Ответ: все углы шестиугольника равны $120^\circ$.