Номер 228, страница 63 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

228. Биссектриса угла прямоугольника делит одну из его сторон на отрезки длиной 4 см и 7 см. Найдите площадь прямоугольника. Сколько решений имеет задача?

228. Биссектриса угла прямоугольника делит одну из его сторон на отрезки длиной 4 см и 7 см. Найдите площадь прямоугольника. Сколько решений имеет задача?

Пусть дан прямоугольник, и $AK$ — биссектриса одного из его углов, например, угла $A$. Поскольку угол прямоугольника равен $90^\circ$, биссектриса делит его на два угла по $45^\circ$.

Биссектриса $AK$ пересекает одну из противолежащих сторон. Рассмотрим случай, когда она пересекает сторону $BC$ в точке $K$. В этом случае образуется прямоугольный треугольник $\triangle ABK$. В этом треугольнике $\angle B = 90^\circ$ и $\angle BAK = 45^\circ$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому третий угол $\angle BKA = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Так как два угла в треугольнике $\triangle ABK$ равны, он является равнобедренным, и сторона $AB$ равна отрезку $BK$ ($AB=BK$).

По условию, сторона $BC$ делится точкой $K$ на отрезки длиной 4 см и 7 см. Это означает, что длина всей стороны $BC$ равна $4 + 7 = 11$ см. Отрезок $BK$ может быть равен либо 4 см, либо 7 см. Это приводит к двум возможным случаям.

Случай 1:
Пусть отрезок $BK = 4$ см, тогда второй отрезок $KC = 7$ см.Поскольку $AB=BK$, то длина стороны $AB$ равна 4 см.Длина второй стороны $BC = BK + KC = 4 + 7 = 11$ см.Площадь прямоугольника в этом случае составляет: $S_1 = AB \cdot BC = 4 \text{ см} \cdot 11 \text{ см} = 44 \text{ см}^2$.

Случай 2:
Пусть отрезок $BK = 7$ см, тогда второй отрезок $KC = 4$ см.Поскольку $AB=BK$, то длина стороны $AB$ равна 7 см.Длина второй стороны $BC = BK + KC = 7 + 4 = 11$ см.Площадь прямоугольника в этом случае составляет: $S_2 = AB \cdot BC = 7 \text{ см} \cdot 11 \text{ см} = 77 \text{ см}^2$.

Если бы биссектриса пересекала другую противоположную сторону ($CD$), рассуждения были бы аналогичными и привели бы к таким же результатам.

Ответ: Площадь прямоугольника может быть равна 44 см$^2$ или 77 см$^2$.

Как показано выше, существуют два различных набора размеров для прямоугольника, которые удовлетворяют условиям задачи: прямоугольник со сторонами 4 см и 11 см и прямоугольник со сторонами 7 см и 11 см. Оба эти варианта являются корректными. Следовательно, задача имеет два решения.

Ответ: Задача имеет два решения.