Номер 235, страница 64 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

235. Найдите площадь параллелограмма, диагонали которого равны 16 см и 20 см, а одна из диагоналей перпендикулярна меньшей стороне.

235. Найдите площадь параллелограмма, диагонали которого равны 16 см и 20 см, а одна из диагоналей перпендикулярна меньшей стороне.

Решение:

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, где $a$ — меньшая сторона ($a < b$). Диагонали параллелограмма равны $d_1 = 16$ см и $d_2 = 20$ см.

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон. Это свойство можно записать формулой:

$d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$

Подставим известные значения длин диагоналей:

$16^2 + 20^2 = 2(a^2 + b^2)$

$256 + 400 = 2(a^2 + b^2)$

$656 = 2(a^2 + b^2)$

$a^2 + b^2 = 328$

По условию задачи, одна из диагоналей перпендикулярна меньшей стороне $a$. Обозначим эту диагональ как $d_p$. Эта диагональ вместе со сторонами $a$ и $b$ образует прямоугольный треугольник. Поскольку $b$ — большая сторона ($b > a$), она является гипотенузой этого треугольника, а сторона $a$ и диагональ $d_p$ — его катетами. По теореме Пифагора:

$b^2 = a^2 + d_p^2$

Мы получили систему из двух уравнений:

1. $a^2 + b^2 = 328$
2. $b^2 = a^2 + d_p^2$

Подставим второе уравнение в первое:

$a^2 + (a^2 + d_p^2) = 328$

$2a^2 + d_p^2 = 328$

$2a^2 = 328 - d_p^2$

Теперь нужно определить, какая из диагоналей перпендикулярна меньшей стороне. Проверим оба варианта:

1. Если $d_p = 20$ см:

$2a^2 = 328 - 20^2 = 328 - 400 = -72$

Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат стороны не может быть отрицательным.

2. Если $d_p = 16$ см:

$2a^2 = 328 - 16^2 = 328 - 256 = 72$

$a^2 = 36$

$a = 6$ см

Этот вариант возможен. Таким образом, меньшая сторона параллелограмма равна 6 см, и ей перпендикулярна диагональ длиной 16 см.

Площадь параллелограмма можно найти как произведение основания на высоту. Если в качестве основания взять меньшую сторону $a$, то высота, проведенная к этому основанию, будет равна длине перпендикулярной ей диагонали $d_p$.

Основание = $a = 6$ см.

Высота = $h_a = d_p = 16$ см.

Площадь параллелограмма $S$:

$S = a \cdot h_a = 6 \cdot 16 = 96$ см$^2$.

Ответ: 96 см$^2$.