Номер 234, страница 64 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

234. Высоты параллелограмма равны 4 см и 16 см, а одна из его сторон — 8 см. Найдите вторую сторону параллелограмма. Сколько решений имеет задача?

234. Высоты параллелограмма равны 4 см и 16 см, а одна из его сторон — 8 см. Найдите вторую сторону параллелограмма. Сколько решений имеет задача?

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, а высоты, проведенные к этим сторонам, — $h_a$ и $h_b$ соответственно. Площадь параллелограмма $S$ можно вычислить по формуле $S = \text{основание} \times \text{высота}$. Для одного и того же параллелограмма справедливо равенство:

$S = a \cdot h_a = b \cdot h_b$

Также необходимо учитывать важное геометрическое свойство: любая высота параллелограмма не может быть больше смежной стороны. Это следует из того, что высота является катетом в прямоугольном треугольнике, где смежная сторона выступает в роли гипотенузы, а гипотенуза всегда длиннее катета. Таким образом, должны выполняться условия $h_a \le b$ и $h_b \le a$.

По условию задачи даны высоты 4 см и 16 см, и одна из сторон — 8 см. Рассмотрим два возможных случая.

Найдите вторую сторону параллелограмма.

Случай 1: Данная сторона $a = 8$ см, и к ней проведена высота $h_a = 4$ см. Тогда вторая высота $h_b = 16$ см. Найдем вторую сторону $b$ из равенства площадей:

$a \cdot h_a = b \cdot h_b$

$8 \cdot 4 = b \cdot 16$

$32 = 16b$

$b = \frac{32}{16} = 2$ см.

Проверим, может ли существовать такой параллелограмм. Условие $h_b \le a$ должно выполняться. В нашем случае получаем $16 \le 8$, что неверно. Следовательно, этот случай невозможен.

Случай 2: Данная сторона $a = 8$ см, и к ней проведена высота $h_a = 16$ см. Тогда вторая высота $h_b = 4$ см. Найдем вторую сторону $b$ из равенства площадей:

$a \cdot h_a = b \cdot h_b$

$8 \cdot 16 = b \cdot 4$

$128 = 4b$

$b = \frac{128}{4} = 32$ см.

Проверим, может ли существовать такой параллелограмм. Условие $h_b \le a$ дает $4 \le 8$ (верно). Условие $h_a \le b$ дает $16 \le 32$ (верно). Так как оба геометрических ограничения выполняются, этот вариант является решением.

Ответ: 32 см.

Сколько решений имеет задача?

Как показано в ходе решения, из двух теоретически возможных случаев только один (Случай 2) удовлетворяет свойствам параллелограмма. Первый случай приводит к геометрическому противоречию (высота не может быть длиннее смежной стороны), поэтому он отбрасывается. Таким образом, задача имеет только одно решение.

Ответ: одно решение.