Номер 227, страница 63 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

227. Как изменится площадь прямоугольника, если:

1) одну из его сторон увеличить в 8 раз;

2) одну сторону уменьшить в 11 раз, а другую — в 10 раз;

3) одну сторону увеличить в $\sqrt{8}$ раз, а другую уменьшить в $\sqrt{2}$ раз?

227. Как изменится площадь прямоугольника, если:

1) одну из его сторон увеличить в 8 раз;

2) одну сторону уменьшить в 11 раз, а другую — в 10 раз;

3) одну сторону увеличить в $\sqrt{8}$ раз, а другую уменьшить в $\sqrt{2}$ раз?

Пусть первоначальные стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Тогда его площадь $S$ вычисляется по формуле: $S = a \cdot b$. Рассмотрим, как изменится площадь в каждом из случаев.

1) одну из его сторон увеличить в 8 раз;
Пусть одну сторону, например $a$, увеличили в 8 раз. Новая длина этой стороны станет $a_1 = 8a$. Вторая сторона $b$ осталась без изменений. Новая площадь $S_1$ будет равна: $S_1 = a_1 \cdot b = (8a) \cdot b = 8 \cdot (ab)$. Так как первоначальная площадь $S = ab$, то $S_1 = 8S$. Чтобы найти, во сколько раз изменилась площадь, найдем отношение новой площади к первоначальной: $\frac{S_1}{S} = \frac{8S}{S} = 8$. Таким образом, площадь прямоугольника увеличится в 8 раз.
Ответ: увеличится в 8 раз.

2) одну сторону уменьшить в 11 раз, а другую — в 10 раз;
Уменьшим одну сторону $a$ в 11 раз, ее новая длина будет $a_2 = \frac{a}{11}$. Другую сторону $b$ уменьшим в 10 раз, ее новая длина станет $b_2 = \frac{b}{10}$. Новая площадь $S_2$ будет равна: $S_2 = a_2 \cdot b_2 = \frac{a}{11} \cdot \frac{b}{10} = \frac{ab}{110}$. Так как $S = ab$, то $S_2 = \frac{S}{110}$. Найдем отношение новой площади к первоначальной: $\frac{S_2}{S} = \frac{\frac{S}{110}}{S} = \frac{1}{110}$. Следовательно, площадь прямоугольника уменьшится в 110 раз.
Ответ: уменьшится в 110 раз.

3) одну сторону увеличить в $\sqrt{8}$ раз, а другую уменьшить в $\sqrt{2}$ раз?
Увеличим одну сторону $a$ в $\sqrt{8}$ раз. Новая длина этой стороны будет $a_3 = a \cdot \sqrt{8}$. Уменьшим другую сторону $b$ в $\sqrt{2}$ раз. Новая длина этой стороны будет $b_3 = \frac{b}{\sqrt{2}}$. Новая площадь $S_3$ будет равна: $S_3 = a_3 \cdot b_3 = (a \sqrt{8}) \cdot (\frac{b}{\sqrt{2}}) = ab \cdot \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}$. Найдем, во сколько раз изменилась площадь, вычислив отношение $\frac{S_3}{S}$: $\frac{S_3}{S} = \frac{ab \cdot \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}}{ab} = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{8}{2}} = \sqrt{4} = 2$. Это означает, что $S_3 = 2S$. Таким образом, площадь прямоугольника увеличится в 2 раза.
Ответ: увеличится в 2 раза.