Номер 230, страница 63 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

230. Стороны двух данных квадратов равны $a$ и $b$ ($a > b$). Постройте квадрат, площадь которого равна $4a^2 - b^2$.

230. Стороны двух данных квадратов равны $a$ и $b (a > b)$. Постройте квадрат, площадь которого равна $4a^2 - b^2$.

Пусть сторона искомого квадрата равна $x$. Тогда его площадь $S$ равна $x^2$. Согласно условию задачи, площадь квадрата должна быть равна $4a^2 - b^2$. Таким образом, мы получаем уравнение:

$x^2 = 4a^2 - b^2$

Мы можем переписать правую часть уравнения, заметив, что $4a^2 = (2a)^2$. Тогда уравнение принимает вид:

$x^2 = (2a)^2 - b^2$

Это уравнение соответствует теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, в котором $2a$ является гипотенузой, а $x$ и $b$ — катетами ($c^2 = p^2 + q^2 \Rightarrow p^2 = c^2 - q^2$). Следовательно, для построения стороны искомого квадрата $x$, нам необходимо построить прямоугольный треугольник с гипотенузой длиной $2a$ и одним катетом длиной $b$. Второй катет этого треугольника будет искомой стороной $x$.

Алгоритм построения:

1. Построим отрезок длиной $2a$. Для этого на произвольной прямой отложим два раза подряд отрезок длиной $a$.
2. Построим прямой угол. Обозначим его вершину буквой C.
3. На одной из сторон прямого угла отложим от вершины C отрезок $CB$, равный по длине отрезку $b$.
4. Из точки B как из центра проведем дугу окружности радиусом $2a$ так, чтобы она пересекла вторую сторону прямого угла. Точку пересечения обозначим A. (Такое построение возможно, так как по условию $a > b$, следовательно $2a > 2b \ge b$, то есть гипотенуза $2a$ больше катета $b$).
5. Соединим точки A и B. Мы получим прямоугольный треугольник ABC, в котором $\angle C = 90^\circ$, катет $CB = b$ и гипотенуза $AB = 2a$.
6. По теореме Пифагора, квадрат второго катета $AC$ равен $AC^2 = AB^2 - CB^2 = (2a)^2 - b^2 = 4a^2 - b^2$. Таким образом, отрезок $AC$ является стороной искомого квадрата.
7. Используя отрезок $AC$ как сторону, строим квадрат. Например, из точек A и C восставляем перпендикуляры к прямой AC и откладываем на них отрезки, равные $AC$. Соединив концы этих отрезков, получим искомый квадрат.

Ответ: Искомый квадрат — это квадрат, построенный на катете прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна $2a$, а другой катет равен $b$.