Номер 242, страница 64 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

242. Какие из треугольников, изображённых на рисунке 78, равновелики?

Рис. 78

а) $S_a = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 = 12$

б) $S_б = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$

в) $S_в = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3 = 12$

г) $S_г = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18$

д) $S_д = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 = 12$

е) $S_е = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8$

ж) $S_ж = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 = 12$

Равновелики треугольники: а, б, в, д, ж.

242. Какие из треугольников, изображённых на рисунке 78, равновелики?

Рис. 78

Равновеликие фигуры — это фигуры, имеющие равные площади. Чтобы определить, какие из представленных треугольников равновелики, необходимо вычислить площадь каждого из них. Примем длину стороны одной клетки сетки за 1 единицу.

Площадь треугольника, у которого одна из сторон лежит на линии сетки, можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}ah$, где $a$ – длина основания треугольника, а $h$ – высота, проведенная к этому основанию.

а

Основание этого треугольника лежит на горизонтальной линии сетки, и его длина $a$ составляет 3 единицы. Высота $h$, проведенная из верхней вершины перпендикулярно основанию, равна 3 единицам. Площадь треугольника "а" равна: $S_а = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 4,5$ кв. ед.

б

Основание треугольника "б" также горизонтально, и его длина $a$ равна 3 единицам. Высота $h$, опущенная на прямую, содержащую основание, равна 3 единицам. Площадь треугольника "б" равна: $S_б = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 4,5$ кв. ед.

в

Горизонтальное основание треугольника "в" имеет длину $a=6$ единиц, а его высота $h$ равна 2 единицам. Площадь треугольника "в" равна: $S_в = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 = 6$ кв. ед.

г

Горизонтальное основание треугольника "г" имеет длину $a=4$ единицы, а его высота $h$ равна 4 единицам. Площадь треугольника "г" равна: $S_г = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8$ кв. ед.

д

У треугольника "д" есть горизонтальная сторона, которую можно принять за основание. Её длина $a$ равна 5 единицам. Высота $h$, проведенная к этому основанию из нижней вершины, равна 3 единицам. Площадь треугольника "д" равна: $S_д = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 = 7,5$ кв. ед.

е

Треугольник "е" является прямоугольным. Его катеты, расположенные вдоль линий сетки, равны 3 и 3 единицам. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Площадь треугольника "е" равна: $S_е = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 4,5$ кв. ед.

ж

У треугольника "ж" нет сторон, параллельных осям сетки. Для нахождения его площади удобно воспользоваться методом координат. Поместим одну из вершин треугольника в начало координат, например, левую нижнюю. Тогда координаты вершин будут: A(0, 0), B(2, 3) и C(6, 2). Площадь вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} |(x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B))|$. Подставим координаты: $S_ж = \frac{1}{2} |(0(3 - 2) + 2(2 - 0) + 6(0 - 3))| = \frac{1}{2} |(0 + 4 - 18)| = \frac{1}{2} |-14| = 7$ кв. ед.

Сравнив вычисленные площади всех треугольников, мы видим, что треугольники "а", "б" и "е" имеют одинаковую площадь, равную 4,5 кв. ед. Остальные треугольники имеют другие значения площадей: $S_в=6$ кв. ед., $S_г=8$ кв. ед., $S_д=7,5$ кв. ед., $S_ж=7$ кв. ед.

Следовательно, треугольники "а", "б" и "е" являются равновеликими.

Ответ: Равновеликими являются треугольники а, б, е.