Страница 65 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

246. Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке 80, если длина стороны клетки равна единице длины.

Рис. 80

246. Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке 80, если длина стороны клетки равна единице длины.

Рис. 80

Для нахождения площади треугольника, изображенного на клетчатой бумаге, можно использовать один из нескольких методов. Наиболее наглядным является метод достраивания до прямоугольника.

1. Опишем вокруг треугольника прямоугольник, стороны которого параллельны линиям сетки и проходят через его вершины. Из рисунка видно, что:

• горизонтальный размер прямоугольника (длина) составляет 5 клеток;
• вертикальный размер прямоугольника (ширина) составляет 4 клетки.

Площадь этого прямоугольника $S_{прямоуг}$ равна произведению его сторон:

$S_{прямоуг} = 5 \times 4 = 20$ квадратных единиц.

2. Прямоугольник состоит из искомого треугольника и трех прямоугольных треугольников по углам. Чтобы найти площадь нашего треугольника, нужно из площади прямоугольника вычесть площади этих трех "лишних" треугольников. Найдем их площади. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

• Площадь первого прямоугольного треугольника (в левом верхнем углу) с катетами 3 и 4:

  $S_1 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$

• Площадь второго прямоугольного треугольника (в правом верхнем углу) с катетами 2 и 3:

  $S_2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 = 3$

• Площадь третьего прямоугольного треугольника (вдоль нижнего основания) с катетами 5 и 1:

  $S_3 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 1 = 2.5$

3. Вычтем из площади прямоугольника сумму площадей трех прямоугольных треугольников, чтобы найти площадь искомого треугольника $S_{треуг}$:

$S_{треуг} = S_{прямоуг} - (S_1 + S_2 + S_3)$

$S_{треуг} = 20 - (6 + 3 + 2.5) = 20 - 11.5 = 8.5$

Таким образом, площадь треугольника, изображенного на рисунке, равна 8.5 квадратных единиц.

Ответ: 8.5

247. В треугольнике $ABC$ высоты, проведённые из вершин $A$ и $B$, относятся как $7 : 9$. Найдите отношение сторон $BC$ и $AC$.

247. В треугольнике ABC высоты, проведённые из вершин A и B, относятся как 7 : 9. Найдите отношение сторон BC и AC.

Пусть $h_a$ — это высота треугольника $ABC$, проведенная из вершины $A$ к стороне $BC$, а $h_b$ — это высота, проведенная из вершины $B$ к стороне $AC$.
По условию задачи, высоты относятся как $7:9$, то есть:
$\frac{h_a}{h_b} = \frac{7}{9}$
Площадь треугольника ($S$) можно найти по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.
Выразим площадь треугольника $ABC$ двумя способами:
1. Через основание $BC$ и высоту $h_a$:
$S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_a$
2. Через основание $AC$ и высоту $h_b$:
$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_b$
Поскольку площадь треугольника одна и та же, мы можем приравнять правые части этих двух выражений:
$\frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_b$
Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:
$BC \cdot h_a = AC \cdot h_b$
Из этого равенства выразим искомое отношение сторон $\frac{BC}{AC}$:
$\frac{BC}{AC} = \frac{h_b}{h_a}$
Мы знаем, что $\frac{h_a}{h_b} = \frac{7}{9}$. Тогда обратное отношение $\frac{h_b}{h_a}$ будет равно $\frac{9}{7}$.
Следовательно:
$\frac{BC}{AC} = \frac{9}{7}$
Таким образом, отношение сторон $BC$ и $AC$ равно $9:7$.
Ответ: $9:7$

248. Катет прямоугольного треугольника равен 10 см, а гипотенуза — 26 см. Найдите высоту треугольника, проведённую к гипотенузе.

248. Катет прямоугольного треугольника равен 10 см, а гипотенуза — 26 см. Найдите высоту треугольника, проведённую к гипотенузе.

Пусть в прямоугольном треугольнике катеты равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$. Высота, проведённая к гипотенузе, пусть будет $h_c$.

Из условия задачи имеем: один катет $a = 10$ см и гипотенузу $c = 26$ см.

1. Найдём длину второго катета.
Воспользуемся теоремой Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + b^2 = c^2$.
Подставим известные значения: $10^2 + b^2 = 26^2$
$100 + b^2 = 676$
$b^2 = 676 - 100$
$b^2 = 576$
$b = \sqrt{576}$
$b = 24$ см.
Таким образом, второй катет равен 24 см.

2. Найдём высоту, проведённую к гипотенузе.
Площадь прямоугольного треугольника ($S$) можно вычислить двумя способами:

• Через катеты: $S = \frac{1}{2} a \cdot b$
• Через гипотенузу и высоту, проведённую к ней: $S = \frac{1}{2} c \cdot h_c$

Приравняв эти два выражения для площади, получим: $\frac{1}{2} a \cdot b = \frac{1}{2} c \cdot h_c$
Умножим обе части уравнения на 2: $a \cdot b = c \cdot h_c$
Выразим из этого уравнения высоту $h_c$: $h_c = \frac{a \cdot b}{c}$
Теперь подставим числовые значения сторон: $h_c = \frac{10 \cdot 24}{26} = \frac{240}{26}$
Сократим дробь на 2: $h_c = \frac{120}{13}$ см.
Можно также представить ответ в виде смешанной дроби: $120 \div 13 = 9$ с остатком $3$, поэтому: $h_c = 9 \frac{3}{13}$ см.

Ответ: $\frac{120}{13}$ см.

249. Высота $CK$ равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB = BC$) равна 6 см. Найдите площадь треугольника $ABC$, если $BK = 8$ см.

249. Высота $CK$ равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB = BC$) равна 6 см. Найдите площадь треугольника $ABC$, если $BK = 8$ см.

Поскольку $CK$ является высотой, проведенной к стороне $AB$, то она перпендикулярна этой стороне, то есть $\angle CKB = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $CKB$ является прямоугольным.

В прямоугольном треугольнике $CKB$ нам известны длины двух катетов: $CK = 6$ см и $BK = 8$ см. Мы можем найти длину гипотенузы $BC$ по теореме Пифагора:

$BC^2 = CK^2 + BK^2$

$BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$

$BC = \sqrt{100} = 10$ см.

По условию задачи, треугольник $ABC$ является равнобедренным с боковыми сторонами $AB$ и $BC$, то есть $AB = BC$. Следовательно:

$AB = 10$ см.

Теперь мы можем найти площадь треугольника $ABC$, используя формулу площади через основание и высоту. В данном случае в качестве основания можно взять сторону $AB$, а высотой, проведенной к этому основанию, будет $CK$.

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CK$

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 = 5 \cdot 6 = 30$ см².

Ответ: $30$ см².