Страница 53 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

137. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $K$. Меньшее основание $BC$ трапеции равно $4$ см, $KB = 5$ см, $AB = 7$ см. Найдите большее основание трапеции.

137. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $K$. Меньшее основание $BC$ трапеции равно $4$ см, $KB = 5$ см, $AB = 7$ см. Найдите большее основание трапеции.

Пусть дана трапеция ABCD, где BC и AD — основания. По определению трапеции, её основания параллельны, то есть $BC \parallel AD$.

Продолжения боковых сторон AB и CD пересекаются в точке K. В результате образуются два треугольника: $\triangle KBC$ и $\triangle KAD$.

Рассмотрим эти два треугольника.

1. Угол при вершине K ($\angle BKC$, он же $\angle AKD$) является общим для обоих треугольников.

2. Так как $BC \parallel AD$, то углы $\angle KBC$ и $\angle KAD$ являются соответственными при параллельных прямых BC и AD и секущей KA. Следовательно, $\angle KBC = \angle KAD$.

По двум равным углам (по первому признаку подобия) треугольник KBC подобен треугольнику KAD ($\triangle KBC \sim \triangle KAD$).

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответственных сторон равно: $$ \frac{KB}{KA} = \frac{KC}{KD} = \frac{BC}{AD} $$

По условию задачи нам даны:
$BC = 4$ см (меньшее основание)
$KB = 5$ см
$AB = 7$ см

Точка B лежит на отрезке KA, поэтому длина стороны KA равна сумме длин отрезков KB и AB: $$ KA = KB + AB = 5 + 7 = 12 \text{ см} $$

Теперь подставим известные значения в пропорцию $\frac{KB}{KA} = \frac{BC}{AD}$, чтобы найти длину большего основания AD: $$ \frac{5}{12} = \frac{4}{AD} $$

Выразим AD из этого уравнения: $$ 5 \cdot AD = 12 \cdot 4 $$ $$ 5 \cdot AD = 48 $$ $$ AD = \frac{48}{5} $$ $$ AD = 9,6 \text{ см} $$

Ответ: 9,6 см.

138. В треугольник $ABC$ вписан параллелограмм $DECM$ (рис. 64). Найдите сторону $BC$ треугольника, если $AC = 10$ см, $MC = 4$ см, $DM = 9$ см.

Рис. 64

 B / \ D---E / \A-------C M

138. В треугольник $ABC$ вписан параллелограмм $DECM$ (рис. 64). Найдите сторону $BC$ треугольника, если $AC = 10$ см, $MC = 4$ см, $DM = 9$ см.

Поскольку четырёхугольник $DECM$ является параллелограммом, его противолежащие стороны параллельны. В частности, сторона $DM$ параллельна стороне $EC$. Так как точки $E$ и $C$ лежат на прямой $BC$, то прямая $DM$ параллельна прямой $BC$ ($DM \parallel BC$).

Рассмотрим треугольники $\triangle ADM$ и $\triangle ABC$. Угол $\angle A$ является общим для обоих треугольников. Углы $\angle ADM$ и $\angle ABC$ равны как соответственные углы, образованные при пересечении параллельных прямых $DM$ и $BC$ секущей $AB$.

Таким образом, треугольник $\triangle ADM$ подобен треугольнику $\triangle ABC$ по двум углам (первый признак подобия треугольников).

Из подобия треугольников следует, что их соответственные стороны пропорциональны:

$\frac{AM}{AC} = \frac{DM}{BC}$

Из условия задачи известны следующие величины: $AC = 10$ см, $MC = 4$ см, $DM = 9$ см. Точка $M$ лежит на стороне $AC$, следовательно, длину отрезка $AM$ можно найти как разность длин $AC$ и $MC$:

$AM = AC - MC = 10 - 4 = 6$ см.

Подставим известные значения в пропорцию:

$\frac{6}{10} = \frac{9}{BC}$

Теперь решим это уравнение относительно $BC$:

$6 \cdot BC = 10 \cdot 9$

$6 \cdot BC = 90$

$BC = \frac{90}{6}$

$BC = 15$ см.

Ответ: 15 см.

139. В треугольник $ABC$ вписан ромб $CDKF$ так, что угол $C$ у них общий, а вершина $K$ принадлежит стороне $AB$. Найдите сторону $AC$ треугольника, если сторона ромба равна 4 см и $BF = 3$ см.

139. В треугольник $ABC$ вписан ромб $CDKF$ так, что угол $C$ у них общий, а вершина $K$ принадлежит стороне $AB$. Найдите сторону $AC$ треугольника, если сторона ромба равна 4 см и $BF = 3$ см.

По условию, в треугольник ABC вписан ромб CDKF с общим углом C. Это означает, что вершина D ромба лежит на стороне AC, а вершина F — на стороне BC.

Так как CDKF — ромб, все его стороны равны. По условию, сторона ромба равна 4 см, следовательно, $CD = FC = FK = 4$ см.

Сторона BC треугольника состоит из двух отрезков: CF и FB. Мы знаем, что $CF = 4$ см (как сторона ромба) и $BF = 3$ см (по условию). Таким образом, мы можем найти длину стороны BC: $BC = CF + BF = 4 + 3 = 7$ см.

Одно из свойств ромба заключается в том, что его противоположные стороны параллельны. Следовательно, сторона FK параллельна стороне CD. Поскольку точка D лежит на стороне AC, то прямая, содержащая CD, совпадает с прямой AC. Значит, $FK \parallel AC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle FKB$ и $\triangle ACB$. Так как прямая FK параллельна стороне AC и пересекает сторону BC, то по теореме о подобных треугольниках, $\triangle FKB$ подобен $\triangle ACB$.

Подобие следует из двух углов:
1. $\angle B$ — общий для обоих треугольников.
2. $\angle BFK = \angle BCA$ — как соответственные углы при параллельных прямых $FK$ и $AC$ и секущей $BC$.

Из подобия треугольников $\triangle FKB \sim \triangle ACB$ следует пропорциональность их соответственных сторон: $\frac{FK}{AC} = \frac{FB}{CB}$.

Подставим известные значения в эту пропорцию:
$FK = 4$ см (сторона ромба)
$FB = 3$ см (дано в условии)
$CB = 7$ см (вычислено ранее)

Получаем уравнение: $\frac{4}{AC} = \frac{3}{7}$.

Чтобы найти AC, выразим его из пропорции: $3 \cdot AC = 4 \cdot 7$
$3 \cdot AC = 28$
$AC = \frac{28}{3}$ см.

Переводя в смешанную дробь, получаем $AC = 9\frac{1}{3}$ см.

Ответ: $9\frac{1}{3}$ см.

140. В треугольник со стороной 12 см вписан прямоугольник, стороны которого равны 8 см и 5 см. Большая сторона прямоугольника принадлежит данной стороне треугольника. Найдите высоту треугольника, проведённую к данной стороне.

140. В треугольник со стороной 12 см вписан прямоугольник, стороны которого равны 8 см и 5 см. Большая сторона прямоугольника принадлежит данной стороне треугольника. Найдите высоту треугольника, проведённую к данной стороне.

Пусть дан треугольник $ABC$, в котором сторона $AC = 12$ см. В треугольник вписан прямоугольник $KLMN$ таким образом, что его большая сторона $KL$ лежит на стороне $AC$. Следовательно, вершины $N$ и $M$ прямоугольника принадлежат сторонам $AB$ и $BC$ соответственно.

Из условия известно, что стороны прямоугольника равны 8 см и 5 см. Так как большая сторона $KL$ лежит на $AC$, то ее длина $KL = 8$ см. Длина другой стороны, которая является высотой прямоугольника, равна $KN = LM = 5$ см. Сторона $NM$ прямоугольника параллельна стороне $KL$ и также равна 8 см.

Проведем высоту $BH$ треугольника $ABC$ к стороне $AC$. Обозначим ее длину как $h$. Эта высота пересечет верхнюю сторону прямоугольника $NM$ в некоторой точке $P$.

Поскольку сторона $NM$ прямоугольника параллельна стороне $AC$ треугольника, то треугольник $NBM$, расположенный над прямоугольником, подобен исходному треугольнику $ABC$ ( $\triangle NBM \sim \triangle ABC$ ). Это следует из того, что угол $B$ у них общий, а углы при основаниях $NM$ и $AC$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $NM$ и $AC$ и секущих $AB$ и $BC$.

Для подобных треугольников отношение их высот равно отношению их оснований. Высотой треугольника $NBM$, проведенной из вершины $B$, является отрезок $BP$. Высотой треугольника $ABC$ является отрезок $BH$. Основаниями являются стороны $NM$ и $AC$ соответственно. Таким образом, мы можем записать пропорцию: $$ \frac{BP}{BH} = \frac{NM}{AC} $$

Длина высоты $BH$ искомая, $BH = h$. Длина высоты $BP$ равна разности высоты $BH$ и высоты прямоугольника $LM$ (которая равна длине отрезка $PH$). То есть: $$ BP = BH - PH = h - 5 \text{ см} $$

Теперь подставим все известные значения в нашу пропорцию:

• $BP = h - 5$
• $BH = h$
• $NM = 8$ см
• $AC = 12$ см

$$ \frac{h-5}{h} = \frac{8}{12} $$

Сократим дробь в правой части уравнения: $$ \frac{8}{12} = \frac{2}{3} $$

Теперь решим полученное уравнение относительно $h$: $$ \frac{h-5}{h} = \frac{2}{3} $$ Применив свойство пропорции (перекрестное умножение), получим: $$ 3 \cdot (h-5) = 2 \cdot h $$ $$ 3h - 15 = 2h $$ $$ 3h - 2h = 15 $$ $$ h = 15 $$

Таким образом, высота треугольника, проведенная к данной стороне, равна 15 см.

Ответ: 15 см.

141. На рисунке 65 $\angle MND = \angle FDN$. Подобны ли треугольники MNA и FDA? В случае положительного ответа укажите пары соответственных сторон.

Рис. 65

141. На рисунке 65 $\angle MND = \angle FDN$. Подобны ли треугольники $MNA$ и $FDA$? В случае положительного ответа укажите пары соответственных сторон.

Рис. 65

Для того чтобы определить, подобны ли треугольники $MNA$ и $FDA$, воспользуемся признаком подобия треугольников по двум углам. Для этого необходимо найти две пары равных углов в этих треугольниках.

1. Рассмотрим углы при вершине $A$. Углы $ \angle MAN $ и $ \angle FAD $ являются вертикальными, так как они образованы при пересечении прямых $MF$ и $ND$. По свойству вертикальных углов, они равны: $ \angle MAN = \angle FAD $.

2. Согласно условию задачи и отметкам на рисунке, $ \angle MNA = \angle FDA $. (В тексте условия дано равенство $ \angle MND = \angle FDN $, что, судя по изображению, является опечаткой, и имеются в виду именно углы $ \angle MNA $ и $ \angle FDA $).

Так как два угла одного треугольника ($ \triangle MNA $) соответственно равны двум углам другого треугольника ($ \triangle FDA $), то эти треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

Следовательно, $ \triangle MNA \sim \triangle FDA $.

Теперь укажем пары соответственных сторон. В подобных треугольниках соответственные стороны — это стороны, лежащие напротив равных углов.
- Стороны $MA$ и $FA$ лежат напротив равных углов $ \angle MNA $ и $ \angle FDA $.
- Стороны $NA$ и $DA$ лежат напротив равных третьих углов $ \angle NMA $ и $ \angle DFA $.
- Стороны $MN$ и $FD$ лежат напротив равных вертикальных углов $ \angle MAN $ и $ \angle FAD $.

Ответ: Да, треугольники $MNA$ и $FDA$ подобны. Пары соответственных сторон: $MA$ и $FA$; $NA$ и $DA$; $MN$ и $FD$.

142. На рисунке 66 $\angle ABC = \angle ADB$. Найдите на рисунке подобные треугольники и докажите их подобие.

Рис. 66

142. На рисунке 66 $\angle ABC = \angle ADB$. Найдите на рисунке подобные треугольники и докажите их подобие.

Рис. 66

Для нахождения подобных треугольников и доказательства их подобия рассмотрим треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle ADB $.

Докажем их подобие по первому признаку подобия треугольников (по двум равным углам):

1. Угол $ \angle A $ является общим для обоих треугольников ($ \triangle ABC $ и $ \triangle ADB $).

2. По условию задачи нам дано, что $ \angle ABC = \angle ADB $.

Поскольку два угла одного треугольника ($ \triangle ABC $) соответственно равны двум углам другого треугольника ($ \triangle ADB $), то эти треугольники подобны.

Таким образом, $ \triangle ABC \sim \triangle ADB $.

Ответ: На рисунке подобными являются треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle ADB $. Их подобие следует из первого признака подобия, так как у них есть общий угол $ \angle A $ и равные по условию углы $ \angle ABC $ и $ \angle ADB $.

143. В параллелограмме ABCD проведены высоты BM и CN (рис. 67). Докажите подобие треугольников ABM и BCN.

Рис. 67

143. В параллелограмме ABCD проведены высоты $BM$ и $CN$ (рис. 67). Докажите подобие треугольников $ABM$ и $BCN$.

Рис. 67

Для доказательства подобия треугольников $ABM$ и $BCN$ воспользуемся признаком подобия прямоугольных треугольников. Два прямоугольных треугольника подобны, если гипотенуза и катет одного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету другого.

1. Рассмотрим треугольник $ABM$. Так как $BM$ — высота, проведенная к стороне $AD$ (или ее продолжению), то $BM \perp AD$. Следовательно, треугольник $ABM$ является прямоугольным с прямым углом $\angle AMB = 90^\circ$. В этом треугольнике $AB$ является гипотенузой, а $BM$ — катетом.

2. Рассмотрим треугольник $BCN$. Так как $CN$ — высота, проведенная к стороне $AB$ (или ее продолжению), то $CN \perp AB$. Следовательно, треугольник $BCN$ является прямоугольным с прямым углом $\angle BNC = 90^\circ$. В этом треугольнике $BC$ является гипотенузой, а $CN$ — катетом.

3. Площадь параллелограмма $ABCD$ можно вычислить двумя способами, используя данные высоты:

• Принимая сторону $AD$ за основание, площадь равна $S_{ABCD} = AD \cdot BM$.
• Принимая сторону $AB$ за основание, площадь равна $S_{ABCD} = AB \cdot CN$.

4. Так как площадь одна и та же, мы можем приравнять эти два выражения:

$AD \cdot BM = AB \cdot CN$

5. В параллелограмме противолежащие стороны равны, поэтому $AD = BC$. Заменим $AD$ на $BC$ в полученном равенстве:

$BC \cdot BM = AB \cdot CN$

6. Преобразуем это равенство, чтобы получить отношение сторон. Разделим обе части на $BC \cdot CN$ (считая, что высоты не равны нулю, что очевидно для невырожденного параллелограмма):

$\frac{BM}{CN} = \frac{AB}{BC}$

7. Это равенство показывает, что отношение катета $BM$ треугольника $ABM$ к катету $CN$ треугольника $BCN$ равно отношению гипотенузы $AB$ треугольника $ABM$ к гипотенузе $BC$ треугольника $BCN$.

Таким образом, мы показали, что гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника ($\triangle ABM$) пропорциональны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника ($\triangle BCN$). По признаку подобия прямоугольных треугольников, эти треугольники подобны.

Ответ: Треугольники $ABM$ и $BCN$ подобны ($\triangle ABM \sim \triangle BCN$), что и требовалось доказать.