Страница 48 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

99. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен $86^\circ$. На основании треугольника как на диаметре построена полуокружность, которую другие стороны треугольника делят на три дуги. Найдите градусные меры образовавшихся дуг.

99. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен $86^\circ$. На основании треугольника как на диаметре построена полуокружность, которую другие стороны треугольника делят на три дуги. Найдите градусные меры образовавшихся дуг.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. Угол при вершине $\angle B = 86^\circ$. Так как треугольник равнобедренный, углы при основании равны:
$\angle A = \angle C = \frac{180^\circ - 86^\circ}{2} = \frac{94^\circ}{2} = 47^\circ$.

На основании $AC$ как на диаметре построена полуокружность. Пусть $O$ — её центр (середина $AC$). Боковые стороны $AB$ и $BC$ пересекают полуокружность в точках $D$ и $E$ соответственно. Эти точки делят полуокружность на три дуги: $AD$, $DE$ и $EC$.

Рассмотрим треугольник $AOD$. Отрезки $OA$ и $OD$ являются радиусами полуокружности, поэтому $OA = OD$. Это означает, что треугольник $AOD$ — равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике $AOD$ углы при основании $AD$ равны: $\angle ODA = \angle OAD$. Угол $\angle OAD$ является углом при основании исходного треугольника $ABC$, то есть $\angle OAD = \angle A = 47^\circ$.

Теперь найдем центральный угол $\angle AOD$, который опирается на дугу $AD$. Сумма углов в треугольнике $AOD$ равна $180^\circ$:
$\angle AOD = 180^\circ - (\angle OAD + \angle ODA) = 180^\circ - (47^\circ + 47^\circ) = 180^\circ - 94^\circ = 86^\circ$.

Градусная мера дуги равна градусной мере центрального угла, который на нее опирается. Следовательно, градусная мера дуги $AD$ равна $86^\circ$.

В силу симметрии равнобедренного треугольника $ABC$ относительно высоты, проведенной из вершины $B$, дуга $EC$ будет равна дуге $AD$. Таким образом, градусная мера дуги $EC$ также равна $86^\circ$.

Градусная мера всей полуокружности равна $180^\circ$. Чтобы найти градусную меру средней дуги $DE$, нужно из $180^\circ$ вычесть градусные меры двух крайних дуг:
Градусная мера дуги $DE = 180^\circ - (\text{дуга } AD + \text{дуга } EC) = 180^\circ - (86^\circ + 86^\circ) = 180^\circ - 172^\circ = 8^\circ$.

Ответ: $86^\circ, 8^\circ, 86^\circ$.

100. Можно ли описать окружность около четырёхугольника ABCD, если:

1) $\angle A = 64^\circ$, $\angle B = 116^\circ$;

2) $\angle B = 82^\circ$, $\angle D = 108^\circ$?

100. Можно ли описать окружность около четырёхугольника $ABCD$, если:

1) $\angle A = 64^\circ, \angle B = 116^\circ$;

2) $\angle B = 82^\circ, \angle D = 108^\circ$?

Окружность можно описать около четырёхугольника тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. Для четырёхугольника $ABCD$ это означает, что должно выполняться равенство $ \angle A + \angle C = 180^\circ $ и $ \angle B + \angle D = 180^\circ $. Достаточно проверить равенство для одной пары противолежащих углов, так как если оно выполняется, то для второй пары оно также будет выполняться (поскольку сумма всех углов четырёхугольника равна $360^\circ$).

1) $ \angle A = 64^\circ, \angle B = 116^\circ $

В данном случае нам даны два соседних угла. Найдём их сумму:

$ \angle A + \angle B = 64^\circ + 116^\circ = 180^\circ $

Если сумма углов, прилежащих к одной стороне четырёхугольника, равна $180^\circ$, то стороны, к которым эти углы не прилегают, параллельны. В четырёхугольнике $ABCD$ углы $A$ и $B$ прилежат к стороне $AB$. Следовательно, стороны $AD$ и $BC$ параллельны, а значит, четырёхугольник $ABCD$ является трапецией с основаниями $AD$ и $BC$.

Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда она является равнобедренной. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Для трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ это означает, что $ \angle A = \angle D = 64^\circ $ и $ \angle B = \angle C = 116^\circ $.

Проверим, выполняется ли для такой равнобедренной трапеции условие, что сумма противолежащих углов равна $180^\circ$:

$ \angle A + \angle C = 64^\circ + 116^\circ = 180^\circ $

$ \angle B + \angle D = 116^\circ + 64^\circ = 180^\circ $

Условие выполняется. Так как существует четырёхугольник (а именно, равнобедренная трапеция) с заданными углами, около которого можно описать окружность, то ответ на вопрос "Можно ли?" — да.

Ответ: да, можно.

2) $ \angle B = 82^\circ, \angle D = 108^\circ $

В данном случае нам даны два противолежащих угла. Найдём их сумму:

$ \angle B + \angle D = 82^\circ + 108^\circ = 190^\circ $

Сумма противолежащих углов четырёхугольника равна $190^\circ$, что не равно $180^\circ$. Следовательно, основное условие для того, чтобы около четырёхугольника можно было описать окружность, не выполняется.

Ответ: нет, нельзя.

101. Найдите углы $A$ и $B$ четырёхугольника $ABCD$, вписанного в окружность, если $\angle C = 37^{\circ}$, $\angle D = 106^{\circ}$.

101. Найдите углы $A$ и $B$ четырёхугольника $ABCD$, вписанного в окружность, если $ \angle C = 37^{\circ} $, $ \angle D = 106^{\circ} $.

Для решения задачи используется свойство четырёхугольника, вписанного в окружность. Согласно этому свойству, сумма противоположных углов такого четырёхугольника равна $180^\circ$.

Для четырёхугольника $ABCD$, вписанного в окружность, справедливы следующие равенства:
$\angle A + \angle C = 180^\circ$
$\angle B + \angle D = 180^\circ$

Из условия задачи известны величины двух углов: $\angle C = 37^\circ$ и $\angle D = 106^\circ$.

Угол A
Углы $A$ и $C$ являются противоположными, следовательно, их сумма равна $180^\circ$. Найдём угол $A$:
$\angle A = 180^\circ - \angle C$
$\angle A = 180^\circ - 37^\circ = 143^\circ$

Угол B
Углы $B$ и $D$ также являются противоположными, и их сумма равна $180^\circ$. Найдём угол $B$:
$\angle B = 180^\circ - \angle D$
$\angle B = 180^\circ - 106^\circ = 74^\circ$

Ответ: $\angle A = 143^\circ$, $\angle B = 74^\circ$.

102. Один из углов трапеции, вписанной в окружность, равен $114^\circ$. Найдите остальные углы трапеции.

102. Один из углов трапеции, вписанной в окружность, равен $114^\circ$. Найдите остальные углы трапеции.

Для решения этой задачи необходимо использовать два ключевых свойства трапеции, вписанной в окружность.

1. Трапеция, которую можно вписать в окружность, является равнобедренной.
У равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Пусть у нас есть трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Тогда $\angle A = \angle D$ и $\angle B = \angle C$.

2. Сумма противолежащих углов любого четырехугольника, вписанного в окружность, равна $180^\circ$.
Для нашей трапеции это означает, что $\angle A + \angle C = 180^\circ$ и $\angle B + \angle D = 180^\circ$.

Решение

По условию нам дан один из углов, равный $114^\circ$. Этот угол тупой. В равнобедренной трапеции (которая не является прямоугольником) есть два равных тупых угла и два равных острых угла.

Пусть $\angle B = 114^\circ$.
По свойству равнобедренной трапеции, второй угол при том же основании, $\angle C$, будет равен $\angle B$.
$\angle C = 114^\circ$.

Теперь найдем два других угла, $\angle A$ и $\angle D$. Воспользуемся свойством вписанного четырехугольника: сумма противолежащих углов равна $180^\circ$.
Найдем угол $\angle A$, противолежащий углу $\angle C$:
$\angle A + \angle C = 180^\circ$
$\angle A = 180^\circ - \angle C = 180^\circ - 114^\circ = 66^\circ$.

Угол $\angle D$ равен углу $\angle A$, так как это углы при другом основании равнобедренной трапеции.
$\angle D = \angle A = 66^\circ$.

Таким образом, мы нашли все углы трапеции: два угла по $114^\circ$ и два угла по $66^\circ$. Один угол $114^\circ$ был дан в условии, значит, остальные три угла — это $114^\circ$, $66^\circ$ и $66^\circ$.

Ответ: Остальные углы трапеции равны $114^\circ$, $66^\circ$ и $66^\circ$.

103. Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $B$ на $14^\circ$ меньше угла $C$ и в 5 раз меньше угла $D$. Найдите углы четырёхугольника.

103. Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $B$ на $14^\circ$ меньше угла $C$ и в 5 раз меньше угла $D$. Найдите углы четырёхугольника.

Пусть $ \angle B = x $.

Согласно условию задачи, угол $B$ на $14^\circ$ меньше угла $C$, следовательно, $ \angle C = \angle B + 14^\circ = x + 14^\circ $.

Также по условию, угол $B$ в 5 раз меньше угла $D$, следовательно, $ \angle D = 5 \cdot \angle B = 5x $.

Поскольку четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Таким образом, мы имеем два равенства:
$ \angle A + \angle C = 180^\circ $
$ \angle B + \angle D = 180^\circ $

Используем второе равенство ($ \angle B + \angle D = 180^\circ $) и подставим в него выражения для углов $B$ и $D$ через $x$:
$ x + 5x = 180^\circ $
$ 6x = 180^\circ $
$ x = \frac{180^\circ}{6} $
$ x = 30^\circ $

Итак, мы нашли величину угла $B$: $ \angle B = 30^\circ $.

Теперь, зная $x$, можем найти величины остальных углов:
$ \angle D = 5x = 5 \cdot 30^\circ = 150^\circ $
$ \angle C = x + 14^\circ = 30^\circ + 14^\circ = 44^\circ $

Используя первое равенство ($ \angle A + \angle C = 180^\circ $), найдём угол $A$:
$ \angle A + 44^\circ = 180^\circ $
$ \angle A = 180^\circ - 44^\circ $
$ \angle A = 136^\circ $

Проверим правильность найденных углов. Сумма противоположных углов $ \angle A + \angle C = 136^\circ + 44^\circ = 180^\circ $ и $ \angle B + \angle D = 30^\circ + 150^\circ = 180^\circ $. Условия задачи выполнены.

Ответ: $ \angle A = 136^\circ $, $ \angle B = 30^\circ $, $ \angle C = 44^\circ $, $ \angle D = 150^\circ $.

104. В четырёхугольнике ABCD $ \angle BAD = 74^\circ $, $ \angle BCD = 106^\circ $, $ \angle ABD = 47^\circ $, $ \angle CBD = 58^\circ $. Найдите угол между диагоналями четырёхугольника, противоположащий стороне BC.

104. В четырёхугольнике ABCD $\angle BAD = 74^\circ$, $\angle BCD = 106^\circ$, $\angle ABD = 47^\circ$, $\angle CBD = 58^\circ$. Найдите угол между диагоналями четырёхугольника, противолежащий стороне BC.

Пусть диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O. Угол между диагоналями, который противолежит стороне BC, — это угол ∠BOC.

Сначала проверим, является ли данный четырёхугольник вписанным в окружность. Для этого найдём сумму его противоположных углов $∠BAD$ и $∠BCD$:

$∠BAD + ∠BCD = 74° + 106° = 180°$

Поскольку сумма противоположных углов четырёхугольника равна $180°$, то он является вписанным в окружность. Это свойство позволяет нам использовать равенство вписанных углов, опирающихся на одну и ту же дугу.

Рассмотрим треугольник ABD. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180°$. Зная два угла ($∠BAD = 74°$ и $∠ABD = 47°$), мы можем найти третий угол, $∠BDA$:

$∠BDA = 180° - (∠BAD + ∠ABD) = 180° - (74° + 47°) = 180° - 121° = 59°$

Углы $∠BCA$ и $∠BDA$ являются вписанными углами, которые опираются на одну и ту же дугу AB. Следовательно, эти углы равны:

$∠BCA = ∠BDA = 59°$

Теперь рассмотрим треугольник BOC. Для нахождения искомого угла $∠BOC$ нам нужно знать два других угла этого треугольника: $∠OBC$ и $∠OCB$.

• $∠OBC$ — это то же самое, что и данный в условии угол $∠CBD = 58°$.
• $∠OCB$ — это то же самое, что и найденный нами угол $∠BCA = 59°$.

Найдём угол $∠BOC$ из суммы углов треугольника BOC:

$∠BOC = 180° - (∠OBC + ∠OCB) = 180° - (58° + 59°) = 180° - 117° = 63°$

Ответ: 63°.

105. Две окружности пересекаются в точках $A$ и $B$. Прямая, проходящая через точку $A$, пересекает окружности в точках $M$ и $N$, а прямая, проходящая через точку $B$, — в точках $K$ и $P$ (рис. 58). Найдите угол $MNP$, если $\angle KMN = 82^\circ$.

Рис. 58

105. Две окружности пересекаются в точках $A$ и $B$. Прямая, проходящая через точку $A$, пересекает окружности в точках $M$ и $N$, а прямая, проходящая через точку $B$, — в точках $K$ и $P$ (рис. 58). Найдите угол $MNP$, если $\angle KMN = 82^\circ$.

Рис. 58

Рассмотрим четырехугольник $MABK$, который вписан в одну из окружностей. По свойству вписанного четырехугольника, сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Следовательно, для углов при вершинах $M$ и $B$ выполняется равенство:

$∠AMK + ∠ABK = 180^\circ$

Аналогично, для вписанного в другую окружность четырехугольника $NABP$ справедливо:

$∠ANP + ∠ABP = 180^\circ$

По условию задачи, точки $K$, $B$, $P$ лежат на одной прямой, поэтому углы $∠ABK$ и $∠ABP$ являются смежными, и их сумма равна $180^\circ$:

$∠ABK + ∠ABP = 180^\circ$, откуда следует, что $∠ABK = 180^\circ - ∠ABP$.

Подставим это выражение для $∠ABK$ в первое уравнение:

$∠AMK + (180^\circ - ∠ABP) = 180^\circ$

Упростив, получаем, что $∠AMK = ∠ABP$.

Теперь подставим полученный результат во второе уравнение, заменив $∠ABP$ на $∠AMK$:

$∠ANP + ∠AMK = 180^\circ$

Поскольку точки $M$, $A$, $N$ лежат на одной прямой, то $∠AMK$ — это то же самое, что и угол $∠KMN$, а $∠ANP$ — это то же самое, что и искомый угол $∠MNP$. Таким образом, мы получили соотношение:

$∠MNP + ∠KMN = 180^\circ$

Это означает, что прямые $MK$ и $NP$ параллельны, а углы $∠KMN$ и $∠MNP$ являются внутренними односторонними при секущей $MN$.

Используя данное в условии значение $∠KMN = 82^\circ$, находим $∠MNP$:

$∠MNP = 180^\circ - ∠KMN = 180^\circ - 82^\circ = 98^\circ$

Ответ: $98^\circ$.

106. Равнобокая трапеция вписана в окружность, центр которой лежит на большем основании. Угол между диагоналями трапеции, противолежащий её боковой стороне, равен 44°. Найдите углы трапеции.

106. Равнобокая трапеция вписана в окружность, центр которой лежит на большем основании. Угол между диагоналями трапеции, противолежащий её боковой стороне, равен $44^\circ$. Найдите углы трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$, вписанная в окружность, с большим основанием $AD$ и меньшим основанием $BC$. По условию, центр окружности $O$ лежит на основании $AD$, следовательно, $AD$ является диаметром описанной окружности.

Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K$. Угол между диагоналями, противолежащий боковой стороне (например, стороне $CD$), равен $44^\circ$. Это означает, что $\angle CKD = 44^\circ$.

Поскольку $AD$ — диаметр окружности, любой вписанный угол, опирающийся на него, равен $90^\circ$. Таким образом, треугольники $ABD$ и $ACD$ являются прямоугольными: $\angle ABD = 90^\circ$ и $\angle ACD = 90^\circ$.

В равнобокой трапеции, вписанной в окружность, боковые стороны равны ($AB = CD$), а значит, равны и дуги, которые они стягивают (дуга $AB$ = дуга $CD$). Вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, также равны. Угол $\angle ADB$ опирается на дугу $AB$, а угол $\angle CAD$ — на дугу $CD$. Следовательно, $\angle ADB = \angle CAD$. Обозначим величину этих углов через $\alpha$.

Рассмотрим треугольник $AKD$. Углы при его основании $AD$ равны: $\angle KAD = \alpha$ и $\angle KDA = \alpha$. Угол $\angle AKD$ является смежным с углом $\angle CKD$, поэтому их сумма составляет $180^\circ$.

$\angle AKD = 180^\circ - \angle CKD = 180^\circ - 44^\circ = 136^\circ$.

Применим теорему о сумме углов для треугольника $AKD$:

$\angle KAD + \angle KDA + \angle AKD = 180^\circ$
$\alpha + \alpha + 136^\circ = 180^\circ$
$2\alpha = 180^\circ - 136^\circ$
$2\alpha = 44^\circ$
$\alpha = 22^\circ$

Таким образом, мы нашли, что $\angle ADB = 22^\circ$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$ (с прямым углом $\angle ABD = 90^\circ$). Сумма его острых углов равна $90^\circ$:

$\angle DAB + \angle ADB = 90^\circ$
$\angle DAB + 22^\circ = 90^\circ$
$\angle DAB = 90^\circ - 22^\circ = 68^\circ$

Это угол трапеции при большем основании. Так как трапеция равнобокая, второй угол при большем основании $\angle CDA = \angle DAB = 68^\circ$.

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. Следовательно, углы при меньшем основании равны:

$\angle ABC = \angle BCD = 180^\circ - 68^\circ = 112^\circ$.

Ответ: углы трапеции равны $68^\circ, 112^\circ, 112^\circ, 68^\circ$.

107. В четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность. Найдите сторону $AB$, если $BC = 4$ см, $CD = 8$ см, $AD = 11$ см.

107. В четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность. Найдите сторону $AB$, если $BC = 4$ см, $CD = 8$ см, $AD = 11$ см.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством описанного четырёхугольника (четырёхугольника, в который можно вписать окружность). Согласно теореме Пито, суммы длин противоположных сторон такого четырёхугольника равны.

Для четырёхугольника ABCD это свойство записывается в виде следующего равенства:
$AB + CD = BC + AD$

В условии задачи даны длины трёх сторон:
BC = 4 см
CD = 8 см
AD = 11 см

Подставим известные значения в формулу, чтобы найти длину неизвестной стороны AB:
$AB + 8 = 4 + 11$
$AB + 8 = 15$

Теперь выразим AB:
$AB = 15 - 8$
$AB = 7$ см

Ответ: 7 см.

108. Можно ли вписать окружность в четырёхугольник $MNPK$, если:

1) $MN = 4 \text{ см}$, $NP = 9 \text{ см}$, $PK = 7 \text{ см}$, $MK = 3 \text{ см}$;

2) $MN = 9 \text{ см}$, $NP = 5 \text{ см}$, $PK = 8 \text{ см}$, $MK = 12 \text{ см}$?

108. Можно ли вписать окружность в четырёхугольник $MNPK$, если:

1) $MN = 4 \text{ см}$, $NP = 9 \text{ см}$, $PK = 7 \text{ см}$, $MK = 3 \text{ см}$;

2) $MN = 9 \text{ см}$, $NP = 5 \text{ см}$, $PK = 8 \text{ см}$, $MK = 12 \text{ см}$?

Для того чтобы в выпуклый четырёхугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы длин его противолежащих сторон были равны (согласно теореме Пито). Для четырёхугольника $MNPK$ должно выполняться следующее равенство:

$MN + PK = NP + MK$

Проверим выполнение этого условия для каждого из предложенных случаев.

1) Имеем стороны: $MN = 4$ см, $NP = 9$ см, $PK = 7$ см, $MK = 3$ см.
Найдём суммы длин противолежащих сторон:
$MN + PK = 4 + 7 = 11$ см
$NP + MK = 9 + 3 = 12$ см
Сравниваем полученные суммы: $11 \neq 12$.
Поскольку суммы противолежащих сторон не равны, в этот четырёхугольник нельзя вписать окружность.
Ответ: нельзя.

2) Имеем стороны: $MN = 9$ см, $NP = 5$ см, $PK = 8$ см, $MK = 12$ см.
Найдём суммы длин противолежащих сторон:
$MN + PK = 9 + 8 = 17$ см
$NP + MK = 5 + 12 = 17$ см
Сравниваем полученные суммы: $17 = 17$.
Поскольку суммы противолежащих сторон равны, в этот четырёхугольник можно вписать окружность.
Ответ: можно.