Номер 105, страница 48 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

105. Две окружности пересекаются в точках $A$ и $B$. Прямая, проходящая через точку $A$, пересекает окружности в точках $M$ и $N$, а прямая, проходящая через точку $B$, — в точках $K$ и $P$ (рис. 58). Найдите угол $MNP$, если $\angle KMN = 82^\circ$.

Рис. 58

105. Две окружности пересекаются в точках $A$ и $B$. Прямая, проходящая через точку $A$, пересекает окружности в точках $M$ и $N$, а прямая, проходящая через точку $B$, — в точках $K$ и $P$ (рис. 58). Найдите угол $MNP$, если $\angle KMN = 82^\circ$.

Рис. 58

Рассмотрим четырехугольник $MABK$, который вписан в одну из окружностей. По свойству вписанного четырехугольника, сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Следовательно, для углов при вершинах $M$ и $B$ выполняется равенство:

$∠AMK + ∠ABK = 180^\circ$

Аналогично, для вписанного в другую окружность четырехугольника $NABP$ справедливо:

$∠ANP + ∠ABP = 180^\circ$

По условию задачи, точки $K$, $B$, $P$ лежат на одной прямой, поэтому углы $∠ABK$ и $∠ABP$ являются смежными, и их сумма равна $180^\circ$:

$∠ABK + ∠ABP = 180^\circ$, откуда следует, что $∠ABK = 180^\circ - ∠ABP$.

Подставим это выражение для $∠ABK$ в первое уравнение:

$∠AMK + (180^\circ - ∠ABP) = 180^\circ$

Упростив, получаем, что $∠AMK = ∠ABP$.

Теперь подставим полученный результат во второе уравнение, заменив $∠ABP$ на $∠AMK$:

$∠ANP + ∠AMK = 180^\circ$

Поскольку точки $M$, $A$, $N$ лежат на одной прямой, то $∠AMK$ — это то же самое, что и угол $∠KMN$, а $∠ANP$ — это то же самое, что и искомый угол $∠MNP$. Таким образом, мы получили соотношение:

$∠MNP + ∠KMN = 180^\circ$

Это означает, что прямые $MK$ и $NP$ параллельны, а углы $∠KMN$ и $∠MNP$ являются внутренними односторонними при секущей $MN$.

Используя данное в условии значение $∠KMN = 82^\circ$, находим $∠MNP$:

$∠MNP = 180^\circ - ∠KMN = 180^\circ - 82^\circ = 98^\circ$

Ответ: $98^\circ$.