Номер 100, страница 48 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

100. Можно ли описать окружность около четырёхугольника ABCD, если:

1) $\angle A = 64^\circ$, $\angle B = 116^\circ$;

2) $\angle B = 82^\circ$, $\angle D = 108^\circ$?

100. Можно ли описать окружность около четырёхугольника $ABCD$, если:

1) $\angle A = 64^\circ, \angle B = 116^\circ$;

2) $\angle B = 82^\circ, \angle D = 108^\circ$?

Окружность можно описать около четырёхугольника тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. Для четырёхугольника $ABCD$ это означает, что должно выполняться равенство $ \angle A + \angle C = 180^\circ $ и $ \angle B + \angle D = 180^\circ $. Достаточно проверить равенство для одной пары противолежащих углов, так как если оно выполняется, то для второй пары оно также будет выполняться (поскольку сумма всех углов четырёхугольника равна $360^\circ$).

1) $ \angle A = 64^\circ, \angle B = 116^\circ $

В данном случае нам даны два соседних угла. Найдём их сумму:

$ \angle A + \angle B = 64^\circ + 116^\circ = 180^\circ $

Если сумма углов, прилежащих к одной стороне четырёхугольника, равна $180^\circ$, то стороны, к которым эти углы не прилегают, параллельны. В четырёхугольнике $ABCD$ углы $A$ и $B$ прилежат к стороне $AB$. Следовательно, стороны $AD$ и $BC$ параллельны, а значит, четырёхугольник $ABCD$ является трапецией с основаниями $AD$ и $BC$.

Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда она является равнобедренной. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Для трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ это означает, что $ \angle A = \angle D = 64^\circ $ и $ \angle B = \angle C = 116^\circ $.

Проверим, выполняется ли для такой равнобедренной трапеции условие, что сумма противолежащих углов равна $180^\circ$:

$ \angle A + \angle C = 64^\circ + 116^\circ = 180^\circ $

$ \angle B + \angle D = 116^\circ + 64^\circ = 180^\circ $

Условие выполняется. Так как существует четырёхугольник (а именно, равнобедренная трапеция) с заданными углами, около которого можно описать окружность, то ответ на вопрос "Можно ли?" — да.

Ответ: да, можно.

2) $ \angle B = 82^\circ, \angle D = 108^\circ $

В данном случае нам даны два противолежащих угла. Найдём их сумму:

$ \angle B + \angle D = 82^\circ + 108^\circ = 190^\circ $

Сумма противолежащих углов четырёхугольника равна $190^\circ$, что не равно $180^\circ$. Следовательно, основное условие для того, чтобы около четырёхугольника можно было описать окружность, не выполняется.

Ответ: нет, нельзя.