Номер 99, страница 48 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

99. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен $86^\circ$. На основании треугольника как на диаметре построена полуокружность, которую другие стороны треугольника делят на три дуги. Найдите градусные меры образовавшихся дуг.

99. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен $86^\circ$. На основании треугольника как на диаметре построена полуокружность, которую другие стороны треугольника делят на три дуги. Найдите градусные меры образовавшихся дуг.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. Угол при вершине $\angle B = 86^\circ$. Так как треугольник равнобедренный, углы при основании равны:
$\angle A = \angle C = \frac{180^\circ - 86^\circ}{2} = \frac{94^\circ}{2} = 47^\circ$.

На основании $AC$ как на диаметре построена полуокружность. Пусть $O$ — её центр (середина $AC$). Боковые стороны $AB$ и $BC$ пересекают полуокружность в точках $D$ и $E$ соответственно. Эти точки делят полуокружность на три дуги: $AD$, $DE$ и $EC$.

Рассмотрим треугольник $AOD$. Отрезки $OA$ и $OD$ являются радиусами полуокружности, поэтому $OA = OD$. Это означает, что треугольник $AOD$ — равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике $AOD$ углы при основании $AD$ равны: $\angle ODA = \angle OAD$. Угол $\angle OAD$ является углом при основании исходного треугольника $ABC$, то есть $\angle OAD = \angle A = 47^\circ$.

Теперь найдем центральный угол $\angle AOD$, который опирается на дугу $AD$. Сумма углов в треугольнике $AOD$ равна $180^\circ$:
$\angle AOD = 180^\circ - (\angle OAD + \angle ODA) = 180^\circ - (47^\circ + 47^\circ) = 180^\circ - 94^\circ = 86^\circ$.

Градусная мера дуги равна градусной мере центрального угла, который на нее опирается. Следовательно, градусная мера дуги $AD$ равна $86^\circ$.

В силу симметрии равнобедренного треугольника $ABC$ относительно высоты, проведенной из вершины $B$, дуга $EC$ будет равна дуге $AD$. Таким образом, градусная мера дуги $EC$ также равна $86^\circ$.

Градусная мера всей полуокружности равна $180^\circ$. Чтобы найти градусную меру средней дуги $DE$, нужно из $180^\circ$ вычесть градусные меры двух крайних дуг:
Градусная мера дуги $DE = 180^\circ - (\text{дуга } AD + \text{дуга } EC) = 180^\circ - (86^\circ + 86^\circ) = 180^\circ - 172^\circ = 8^\circ$.

Ответ: $86^\circ, 8^\circ, 86^\circ$.