Номер 110, страница 49 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

110. Средняя линия трапеции равна 16 см, а периметр — 64 см. Докажите, что в данную трапецию можно вписать окружность.

110. Средняя линия трапеции равна 16 см, а периметр – 64 см. Докажите, что в данную трапецию можно вписать окружность.

Для того чтобы в трапецию можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма длин её оснований была равна сумме длин её боковых сторон. Докажем, что для данной трапеции это условие выполняется.

Пусть основания трапеции равны $a$ и $b$, а боковые стороны — $c$ и $d$. Нам нужно доказать, что $a + b = c + d$.

1. Найдем сумму оснований ($a+b$), используя формулу для средней линии трапеции ($m$):
$m = \frac{a+b}{2}$
По условию задачи, средняя линия $m = 16$ см. Подставим это значение в формулу:
$16 = \frac{a+b}{2}$
Отсюда находим сумму оснований:
$a+b = 16 \cdot 2 = 32$ см.

2. Найдем сумму боковых сторон ($c+d$), используя формулу периметра ($P$):
$P = a + b + c + d$
По условию, периметр $P = 64$ см. Мы уже вычислили, что сумма оснований $a+b = 32$ см. Подставим эти значения в формулу периметра:
$64 = 32 + (c+d)$
Отсюда находим сумму боковых сторон:
$c+d = 64 - 32 = 32$ см.

3. Сравним полученные суммы:
Сумма оснований $a+b = 32$ см.
Сумма боковых сторон $c+d = 32$ см.
Таким образом, мы видим, что $a+b = c+d$.

Поскольку сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон, то в данную трапецию можно вписать окружность. Что и требовалось доказать.

Ответ: В данную трапецию можно вписать окружность, так как сумма её оснований ($32$ см) равна сумме её боковых сторон ($32$ см).