Номер 117, страница 50 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

117. В прямоугольном треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^{\circ}$, $\angle B = 60^{\circ}$, $AC = 24$ см. Точка $K$ — середина катета $AC$. Найдите расстояние от точки $K$ до гипотенузы $AB$.

117. В прямоугольном треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^\circ$, $\angle B = 60^\circ$, $AC = 24$ см. Точка $K$ — середина на катета $AC$. Найдите расстояние от точки $K$ до гипотенузы $AB$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ сумма острых углов равна $90^\circ$. Так как по условию $\angle C = 90^\circ$ и $\angle B = 60^\circ$, мы можем найти угол $A$:
$\angle A = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Точка $K$ — середина катета $AC$. По условию, $AC = 24$ см. Следовательно, длина отрезка $AK$ составляет половину длины $AC$:
$AK = \frac{AC}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Расстояние от точки $K$ до гипотенузы $AB$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $K$ на гипотенузу $AB$. Обозначим этот перпендикуляр $KH$, где точка $H$ лежит на $AB$. Таким образом, $KH \perp AB$.

Рассмотрим треугольник $AKH$. Он является прямоугольным, так как $\angle KHA = 90^\circ$ по построению. В этом треугольнике нам известны:

• гипотенуза $AK = 12$ см;
• острый угол $\angle KAH$, который совпадает с углом $\angle A$ треугольника $ABC$, то есть $\angle KAH = 30^\circ$.

Катет $KH$ лежит напротив угла $\angle KAH = 30^\circ$. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Поэтому:
$KH = \frac{1}{2} AK = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.

Ответ: 6 см.