Номер 119, страница 50 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

119. Через точку $K$ — середину боковой стороны $CD$ трапеции $ABCD$ — проведена прямая, параллельная стороне $AB$ и пересекающая основание $AD$ в точке $P$. Найдите отрезок $KP$, если $AB = 14$ см.

119. Через точку $K$ — середину боковой стороны $CD$ трапеции $ABCD$ — проведена прямая, параллельная стороне $AB$ и пересекающая основание $AD$ в точке $P$. Найдите отрезок $KP$, если $AB = 14$ см.

Пусть дана трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания. По условию, точка $K$ является серединой боковой стороны $CD$, что означает $CK = KD$. Через точку $K$ проведена прямая, параллельная другой боковой стороне $AB$. Эта прямая пересекает основание $AD$ в точке $P$. Из условия следует, что $KP \parallel AB$. Известно, что $AB = 14$ см. Требуется найти длину отрезка $KP$.

Выполним дополнительное построение для решения задачи. Проведём через вершину $C$ прямую, параллельную стороне $AB$. Пусть эта прямая пересекает большее основание $AD$ в точке $E$.

Рассмотрим четырёхугольник $ABCE$. По построению имеем $CE \parallel AB$. Так как $AD \parallel BC$ по определению трапеции, то и $AE \parallel BC$ (поскольку точка $E$ лежит на прямой $AD$). Таким образом, четырёхугольник $ABCE$ является параллелограммом, так как его противоположные стороны попарно параллельны.

Из свойства параллелограмма следует, что длины его противоположных сторон равны. Следовательно, $CE = AB$. Поскольку $AB = 14$ см, то $CE = 14$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $CDE$. В этом треугольнике точка $K$ является серединой стороны $CD$ по условию задачи. Прямая $KP$ параллельна стороне $CE$ треугольника, так как по условию $KP \parallel AB$, а по нашему построению $CE \parallel AB$, следовательно, $KP \parallel CE$.

Отрезок $KP$ начинается в точке $K$ — середине стороны $CD$ — и параллелен стороне $CE$. По теореме о средней линии треугольника (а именно, по следствию из теоремы Фалеса), если прямая проходит через середину одной стороны треугольника и параллельна другой стороне, то она является средней линией этого треугольника.

Значит, $KP$ — средняя линия треугольника $CDE$. Длина средней линии треугольника равна половине длины основания, которому она параллельна.

$KP = \frac{1}{2} \cdot CE$

Подставим найденное значение $CE = 14$ см в формулу:
$KP = \frac{1}{2} \cdot 14 = 7$ см.

Ответ: 7 см.