Номер 123, страница 50 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

123. Боковую сторону трапеции разделили на 4 равных отрезка и через точки деления провели прямые, параллельные основаниям. Два меньших отрезка этих прямых, принадлежащие трапеции, равны 4 см и 7 см. Найдите основания трапеции.

123. Боковую сторону трапеции разделили на 4 равных отрезка и через точки деления провели прямые, параллельные основаниям. Два меньших отрезка этих прямых, принадлежащие трапеции, равны 4 см и 7 см. Найдите основания трапеции.

Пусть основания трапеции равны $b$ (меньшее) и $a$ (большее). Боковая сторона разделена на 4 равных отрезка, следовательно, через 3 точки деления проведены прямые, параллельные основаниям. Длины отрезков этих прямых, заключенных внутри трапеции, вместе с длинами оснований образуют арифметическую прогрессию.

Обозначим эту последовательность из 5 членов как $l_1, l_2, l_3, l_4, l_5$, где $l_1 = b$ и $l_5 = a$. Три новых отрезка — это $l_2, l_3, l_4$.

По условию, два меньших из этих новых отрезков равны 4 см и 7 см. Так как отрезки расположены в порядке возрастания длины от меньшего основания к большему, это означает, что $l_2 = 4$ см и $l_3 = 7$ см.

Так как эти члены являются частью арифметической прогрессии, мы можем найти ее разность $d$:
$d = l_3 - l_2 = 7 - 4 = 3$ см.

Теперь, зная разность прогрессии, мы можем найти ее остальные члены, включая основания трапеции.

Меньшее основание $b$ — это первый член прогрессии $l_1$:
$b = l_1 = l_2 - d = 4 - 3 = 1$ см.

Чтобы найти большее основание $a$ (пятый член прогрессии $l_5$), сначала найдем четвертый член $l_4$:
$l_4 = l_3 + d = 7 + 3 = 10$ см.
Теперь найдем $a$ (пятый член):
$a = l_5 = l_4 + d = 10 + 3 = 13$ см.

Таким образом, основания трапеции равны 1 см и 13 см.

Ответ: 1 см и 13 см.