Номер 121, страница 50 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

121. Диагональ трапеции делит её среднюю линию на отрезки, один из которых на 3 см меньше другого. Найдите меньшее основание трапеции, если её большее основание равно 14 см.

121. Диагональ трапеции делит её среднюю линию на отрезки, один из которых на 3 см меньше другого. Найдите меньшее основание трапеции, если её большее основание равно 14 см.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Пусть $AD$ — большее основание, а $BC$ — меньшее. По условию, $AD = 14$ см.

Проведём среднюю линию $MN$, где $M$ — середина боковой стороны $AB$, а $N$ — середина боковой стороны $CD$. Диагональ $AC$ пересекает среднюю линию $MN$ в точке $K$. Таким образом, средняя линия делится на два отрезка: $MK$ и $KN$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $MK$ является его средней линией, так как точка $M$ — середина стороны $AB$, а отрезок $MK$ лежит на средней линии трапеции $MN$, которая параллельна основанию $BC$. По свойству средней линии треугольника, её длина равна половине длины параллельной ей стороны:

$MK = \frac{1}{2}BC$

Теперь рассмотрим треугольник $ADC$. Аналогично, отрезок $KN$ является его средней линией, так как точка $N$ — середина стороны $CD$, а отрезок $KN$ параллелен основанию $AD$. По свойству средней линии треугольника:

$KN = \frac{1}{2}AD$

Нам известно, что большее основание $AD = 14$ см. Найдем длину отрезка $KN$:

$KN = \frac{1}{2} \times 14 = 7$ см.

По условию, один из отрезков средней линии на 3 см меньше другого. Так как $AD > BC$, то и $KN > MK$. Следовательно, отрезок $MK$ на 3 см меньше отрезка $KN$.

$MK = KN - 3$

Подставим известное значение $KN$:

$MK = 7 - 3 = 4$ см.

Теперь, зная длину отрезка $MK$, мы можем найти длину меньшего основания $BC$ из формулы $MK = \frac{1}{2}BC$:

$4 = \frac{1}{2}BC$

$BC = 4 \times 2 = 8$ см.

Ответ: 8 см.