Номер 120, страница 50 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

120. В окружности проведены хорды $BA$ и $BC$. Расстояние от середины хорды $BC$ до хорды $BA$ равно 5 см. Найдите угол $CAB$, если $AC = 20$ см.

120. В окружности проведены хорды $BA$ и $BC$. Расстояние от середины хорды $BC$ до хорды $BA$ равно 5 см. Найдите угол $CAB$, если $AC = 20$ см.

Рассмотрим треугольник $ABC$, образованный хордами. Пусть $M$ — середина хорды $BC$. По условию, расстояние от точки $M$ до хорды $BA$ равно 5 см. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Опустим перпендикуляр $MH$ из точки $M$ на прямую, содержащую хорду $BA$. Тогда $MH = 5$ см и $MH \perp BA$.

Проведем высоту $CP$ треугольника $ABC$ из вершины $C$ на сторону $BA$ (или ее продолжение). По определению высоты, $CP \perp BA$.

Поскольку $MH \perp BA$ и $CP \perp BA$, то прямые $MH$ и $CP$ параллельны ($MH \parallel CP$).

Рассмотрим треугольники $\triangle BMH$ и $\triangle BCP$. У них есть общий угол $\angle B$. Углы $\angle BHM$ и $\angle BPC$ прямые, так как $MH$ и $CP$ — перпендикуляры к прямой $BA$. Следовательно, $\triangle BMH$ подобен $\triangle BCP$ по двум углам.

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответственных сторон равно. Так как $M$ — середина $BC$, то $BM = \frac{1}{2} BC$. Поэтому коэффициент подобия равен:

$\frac{BM}{BC} = \frac{1}{2}$

Следовательно, отношение высот этих треугольников также равно $\frac{1}{2}$:

$\frac{MH}{CP} = \frac{BM}{BC} = \frac{1}{2}$

Отсюда мы можем выразить длину высоты $CP$:

$CP = 2 \cdot MH$

Подставим известное значение $MH = 5$ см:

$CP = 2 \cdot 5 = 10$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ACP$ (угол $\angle APC = 90^\circ$). В этом треугольнике нам известны длина гипотенузы $AC = 20$ см (по условию) и длина катета $CP = 10$ см, который является противолежащим для искомого угла $\angle CAB$.

Синус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Для угла $\angle CAB$ (который совпадает с $\angle CAP$) имеем:

$\sin(\angle CAB) = \frac{CP}{AC}$

Подставляем известные значения:

$\sin(\angle CAB) = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$

Угол в треугольнике, синус которого равен $\frac{1}{2}$, — это $30^\circ$. Следовательно, искомый угол $\angle CAB$ равен $30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.