Номер 127, страница 51 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

127. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB = BC$) точка пересечения медиан удалена от вершины $B$ на 4 см. Найдите расстояние от середины боковой стороны треугольника $ABC$ до его основания.

127. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB = BC$) точка пересечения медиан удалена от вершины $B$ на 4 см. Найдите расстояние от середины боковой стороны тре- угольника $ABC$ до его основания.

Пусть в равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ ($AB = BC$) точка $M$ является точкой пересечения медиан. Проведем медиану $BH$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой, следовательно, $BH \perp AC$.

Точка пересечения медиан $M$ лежит на медиане $BH$. По условию задачи, расстояние от точки $M$ до вершины $B$ составляет 4 см, то есть $BM = 4$ см.

Известно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины. Для медианы $BH$ это означает, что $BM : MH = 2 : 1$.

Используя это свойство, найдем длину отрезка $MH$:

$\frac{BM}{MH} = \frac{2}{1} \implies MH = \frac{BM}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Теперь мы можем найти полную длину медианы $BH$, которая также является высотой треугольника $ABC$:

$BH = BM + MH = 4 + 2 = 6$ см.

Пусть точка $K$ — середина боковой стороны $AB$. Нам нужно найти расстояние от точки $K$ до основания $AC$. Это расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $K$ на прямую $AC$. Обозначим его $KL$, где $L$ — точка на $AC$. Таким образом, $KL \perp AC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (угол $H$ прямой, так как $BH \perp AC$). Поскольку $K$ — середина стороны $AB$ и $KL \parallel BH$ (так как оба отрезка перпендикулярны $AC$), то отрезок $KL$ является средней линией треугольника $ABH$.

По свойству средней линии, ее длина равна половине длины стороны, которой она параллельна. Следовательно:

$KL = \frac{1}{2} BH = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.

Ответ: 3 см.