Номер 130, страница 51 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

130. В треугольнике $ABC$ $AB = 10 \text{ см}$, $BC = 9 \text{ см}$, $AC = 17 \text{ см}$.

В каком отношении центр окружности, вписанной в треугольник, делит его биссектрису $AM$?

130. В треугольнике $ABC$ $AB = 10$ см, $BC = 9$ см, $AC = 17$ см.

В каком отношении центр окружности, вписанной в треугольник, делит его биссектрису $AM$?

Пусть $I$ — центр вписанной окружности в треугольник $ABC$. Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис треугольника. Поскольку $AM$ — биссектриса угла $A$, то точка $I$ лежит на отрезке $AM$. Требуется найти отношение, в котором точка $I$ делит биссектрису $AM$, то есть отношение $AI : IM$.

Сначала воспользуемся свойством биссектрисы угла для треугольника $ABC$. Биссектриса $AM$ делит противолежащую сторону $BC$ на отрезки $BM$ и $MC$, пропорциональные прилежащим сторонам $AB$ и $AC$:$ \frac{BM}{MC} = \frac{AB}{AC} $Подставим известные значения $AB=10$ см и $AC=17$ см:$ \frac{BM}{MC} = \frac{10}{17} $Так как $BM + MC = BC = 9$ см, мы можем найти длину отрезка $BM$:$ BM = \frac{10}{10+17} \cdot BC = \frac{10}{27} \cdot 9 = \frac{10}{3} $ см.

Теперь рассмотрим треугольник $ABM$. Точка $I$ (центр вписанной окружности) лежит также и на биссектрисе угла $B$. Следовательно, отрезок $BI$ является биссектрисой угла $ABM$ в треугольнике $ABM$. Снова применим свойство биссектрисы, но уже для треугольника $ABM$: биссектриса $BI$ делит противолежащую ей сторону $AM$ в отношении, равном отношению двух других сторон треугольника $ABM$:$ \frac{AI}{IM} = \frac{AB}{BM} $Подставим известные значения $AB = 10$ см и вычисленное значение $BM = \frac{10}{3}$ см:$ \frac{AI}{IM} = \frac{10}{\frac{10}{3}} = 10 \cdot \frac{3}{10} = 3 $Таким образом, центр вписанной окружности делит биссектрису $AM$ в отношении $3:1$, считая от вершины $A$.

Этот результат можно также получить, используя общее свойство центра вписанной окружности, который делит биссектрису $AM$ из вершины $A$ в отношении:$ \frac{AI}{IM} = \frac{AB + AC}{BC} $Подставляя данные из условия задачи:$ \frac{AI}{IM} = \frac{10 + 17}{9} = \frac{27}{9} = 3 $

Ответ: $3:1$