Номер 129, страница 51 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

129. Стороны треугольника равны 15 см, 18 см и 22 см. Окружность, центр которой принадлежит большей стороне треугольника, касается двух других сторон. Найдите отрезки, на которые центр окружности делит сторону треугольника.

129. Стороны треугольника равны 15 см, 18 см и 22 см. Окружность, центр которой принадлежит большей стороне треугольника, касается двух других сторон. Найдите отрезки, на которые центр окружности делит сторону треугольника.

Пусть дан треугольник $ABC$ со сторонами $AB = 15$ см, $BC = 18$ см и $AC = 22$ см. Большая сторона треугольника — $AC$.

По условию, центр окружности, назовем его точкой $O$, принадлежит большей стороне, то есть $O \in AC$. Также окружность с центром в точке $O$ касается двух других сторон, $AB$ и $BC$.

Ключевое свойство заключается в том, что центр окружности, касающейся двух сторон угла, лежит на биссектрисе этого угла. Поскольку окружность с центром $O$ касается сторон $AB$ и $BC$, точка $O$ равноудалена от этих сторон. Следовательно, точка $O$ лежит на биссектрисе угла $\angle ABC$.

Таким образом, точка $O$ является точкой пересечения биссектрисы угла $\angle ABC$ (то есть отрезка $BO$) со стороной $AC$.

Согласно свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. В нашем случае биссектриса $BO$ делит сторону $AC$ на отрезки $AO$ и $OC$. Для них справедливо соотношение:

$ \frac{AO}{OC} = \frac{AB}{BC} $

Подставим известные длины сторон:

$ \frac{AO}{OC} = \frac{15}{18} = \frac{5}{6} $

Мы знаем, что точка $O$ делит сторону $AC$ на два отрезка, сумма длин которых равна длине всей стороны:

$ AO + OC = AC = 22 $ см.

Пусть длина отрезка $AO$ равна $x$, а длина отрезка $OC$ равна $y$. Получаем систему уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x}{y} = \frac{5}{6} \\ x + y = 22 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $x$: $x = \frac{5}{6}y$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$ \frac{5}{6}y + y = 22 $

$ (\frac{5}{6} + 1)y = 22 $

$ \frac{11}{6}y = 22 $

$ y = 22 \cdot \frac{6}{11} = 2 \cdot 6 = 12 $

Итак, длина отрезка $OC$ равна 12 см.

Теперь найдем длину отрезка $AO$:

$ x = 22 - y = 22 - 12 = 10 $

Длина отрезка $AO$ равна 10 см.

Таким образом, центр окружности делит большую сторону на отрезки длиной 10 см и 12 см.

Ответ: 10 см и 12 см.