Номер 139, страница 53 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

139. В треугольник $ABC$ вписан ромб $CDKF$ так, что угол $C$ у них общий, а вершина $K$ принадлежит стороне $AB$. Найдите сторону $AC$ треугольника, если сторона ромба равна 4 см и $BF = 3$ см.

139. В треугольник $ABC$ вписан ромб $CDKF$ так, что угол $C$ у них общий, а вершина $K$ принадлежит стороне $AB$. Найдите сторону $AC$ треугольника, если сторона ромба равна 4 см и $BF = 3$ см.

По условию, в треугольник ABC вписан ромб CDKF с общим углом C. Это означает, что вершина D ромба лежит на стороне AC, а вершина F — на стороне BC.

Так как CDKF — ромб, все его стороны равны. По условию, сторона ромба равна 4 см, следовательно, $CD = FC = FK = 4$ см.

Сторона BC треугольника состоит из двух отрезков: CF и FB. Мы знаем, что $CF = 4$ см (как сторона ромба) и $BF = 3$ см (по условию). Таким образом, мы можем найти длину стороны BC: $BC = CF + BF = 4 + 3 = 7$ см.

Одно из свойств ромба заключается в том, что его противоположные стороны параллельны. Следовательно, сторона FK параллельна стороне CD. Поскольку точка D лежит на стороне AC, то прямая, содержащая CD, совпадает с прямой AC. Значит, $FK \parallel AC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle FKB$ и $\triangle ACB$. Так как прямая FK параллельна стороне AC и пересекает сторону BC, то по теореме о подобных треугольниках, $\triangle FKB$ подобен $\triangle ACB$.

Подобие следует из двух углов:
1. $\angle B$ — общий для обоих треугольников.
2. $\angle BFK = \angle BCA$ — как соответственные углы при параллельных прямых $FK$ и $AC$ и секущей $BC$.

Из подобия треугольников $\triangle FKB \sim \triangle ACB$ следует пропорциональность их соответственных сторон: $\frac{FK}{AC} = \frac{FB}{CB}$.

Подставим известные значения в эту пропорцию:
$FK = 4$ см (сторона ромба)
$FB = 3$ см (дано в условии)
$CB = 7$ см (вычислено ранее)

Получаем уравнение: $\frac{4}{AC} = \frac{3}{7}$.

Чтобы найти AC, выразим его из пропорции: $3 \cdot AC = 4 \cdot 7$
$3 \cdot AC = 28$
$AC = \frac{28}{3}$ см.

Переводя в смешанную дробь, получаем $AC = 9\frac{1}{3}$ см.

Ответ: $9\frac{1}{3}$ см.