Номер 143, страница 53 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

143. В параллелограмме ABCD проведены высоты BM и CN (рис. 67). Докажите подобие треугольников ABM и BCN.

Рис. 67

143. В параллелограмме ABCD проведены высоты $BM$ и $CN$ (рис. 67). Докажите подобие треугольников $ABM$ и $BCN$.

Рис. 67

Для доказательства подобия треугольников $ABM$ и $BCN$ воспользуемся признаком подобия прямоугольных треугольников. Два прямоугольных треугольника подобны, если гипотенуза и катет одного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету другого.

1. Рассмотрим треугольник $ABM$. Так как $BM$ — высота, проведенная к стороне $AD$ (или ее продолжению), то $BM \perp AD$. Следовательно, треугольник $ABM$ является прямоугольным с прямым углом $\angle AMB = 90^\circ$. В этом треугольнике $AB$ является гипотенузой, а $BM$ — катетом.

2. Рассмотрим треугольник $BCN$. Так как $CN$ — высота, проведенная к стороне $AB$ (или ее продолжению), то $CN \perp AB$. Следовательно, треугольник $BCN$ является прямоугольным с прямым углом $\angle BNC = 90^\circ$. В этом треугольнике $BC$ является гипотенузой, а $CN$ — катетом.

3. Площадь параллелограмма $ABCD$ можно вычислить двумя способами, используя данные высоты:

• Принимая сторону $AD$ за основание, площадь равна $S_{ABCD} = AD \cdot BM$.
• Принимая сторону $AB$ за основание, площадь равна $S_{ABCD} = AB \cdot CN$.

4. Так как площадь одна и та же, мы можем приравнять эти два выражения:

$AD \cdot BM = AB \cdot CN$

5. В параллелограмме противолежащие стороны равны, поэтому $AD = BC$. Заменим $AD$ на $BC$ в полученном равенстве:

$BC \cdot BM = AB \cdot CN$

6. Преобразуем это равенство, чтобы получить отношение сторон. Разделим обе части на $BC \cdot CN$ (считая, что высоты не равны нулю, что очевидно для невырожденного параллелограмма):

$\frac{BM}{CN} = \frac{AB}{BC}$

7. Это равенство показывает, что отношение катета $BM$ треугольника $ABM$ к катету $CN$ треугольника $BCN$ равно отношению гипотенузы $AB$ треугольника $ABM$ к гипотенузе $BC$ треугольника $BCN$.

Таким образом, мы показали, что гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника ($\triangle ABM$) пропорциональны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника ($\triangle BCN$). По признаку подобия прямоугольных треугольников, эти треугольники подобны.

Ответ: Треугольники $ABM$ и $BCN$ подобны ($\triangle ABM \sim \triangle BCN$), что и требовалось доказать.