Номер 140, страница 53 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

140. В треугольник со стороной 12 см вписан прямоугольник, стороны которого равны 8 см и 5 см. Большая сторона прямоугольника принадлежит данной стороне треугольника. Найдите высоту треугольника, проведённую к данной стороне.

140. В треугольник со стороной 12 см вписан прямоугольник, стороны которого равны 8 см и 5 см. Большая сторона прямоугольника принадлежит данной стороне треугольника. Найдите высоту треугольника, проведённую к данной стороне.

Пусть дан треугольник $ABC$, в котором сторона $AC = 12$ см. В треугольник вписан прямоугольник $KLMN$ таким образом, что его большая сторона $KL$ лежит на стороне $AC$. Следовательно, вершины $N$ и $M$ прямоугольника принадлежат сторонам $AB$ и $BC$ соответственно.

Из условия известно, что стороны прямоугольника равны 8 см и 5 см. Так как большая сторона $KL$ лежит на $AC$, то ее длина $KL = 8$ см. Длина другой стороны, которая является высотой прямоугольника, равна $KN = LM = 5$ см. Сторона $NM$ прямоугольника параллельна стороне $KL$ и также равна 8 см.

Проведем высоту $BH$ треугольника $ABC$ к стороне $AC$. Обозначим ее длину как $h$. Эта высота пересечет верхнюю сторону прямоугольника $NM$ в некоторой точке $P$.

Поскольку сторона $NM$ прямоугольника параллельна стороне $AC$ треугольника, то треугольник $NBM$, расположенный над прямоугольником, подобен исходному треугольнику $ABC$ ( $\triangle NBM \sim \triangle ABC$ ). Это следует из того, что угол $B$ у них общий, а углы при основаниях $NM$ и $AC$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $NM$ и $AC$ и секущих $AB$ и $BC$.

Для подобных треугольников отношение их высот равно отношению их оснований. Высотой треугольника $NBM$, проведенной из вершины $B$, является отрезок $BP$. Высотой треугольника $ABC$ является отрезок $BH$. Основаниями являются стороны $NM$ и $AC$ соответственно. Таким образом, мы можем записать пропорцию: $$ \frac{BP}{BH} = \frac{NM}{AC} $$

Длина высоты $BH$ искомая, $BH = h$. Длина высоты $BP$ равна разности высоты $BH$ и высоты прямоугольника $LM$ (которая равна длине отрезка $PH$). То есть: $$ BP = BH - PH = h - 5 \text{ см} $$

Теперь подставим все известные значения в нашу пропорцию:

• $BP = h - 5$
• $BH = h$
• $NM = 8$ см
• $AC = 12$ см

$$ \frac{h-5}{h} = \frac{8}{12} $$

Сократим дробь в правой части уравнения: $$ \frac{8}{12} = \frac{2}{3} $$

Теперь решим полученное уравнение относительно $h$: $$ \frac{h-5}{h} = \frac{2}{3} $$ Применив свойство пропорции (перекрестное умножение), получим: $$ 3 \cdot (h-5) = 2 \cdot h $$ $$ 3h - 15 = 2h $$ $$ 3h - 2h = 15 $$ $$ h = 15 $$

Таким образом, высота треугольника, проведенная к данной стороне, равна 15 см.

Ответ: 15 см.