Номер 208, страница 61 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

208. В равнобокой трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ равны соответственно 18 см и 12 см, а боковая сторона образует с основанием $AD$ угол $30^\circ$. Найдите диагональ трапеции.

208. В равнобокой трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ равны соответственно 18 см и 12 см, а боковая сторона образует с основанием $AD$ угол $30^\circ$. Найдите диагональ трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$, в которой основания $AD=18$ см и $BC=12$ см, а угол при основании $\angle CDA = 30°$. Необходимо найти длину диагонали. В равнобокой трапеции диагонали равны ($AC = BD$), поэтому найдем длину диагонали $AC$.
Проведем из вершины $C$ высоту $CK$ на основание $AD$. Получим прямоугольный треугольник $CKD$. Так как трапеция равнобокая, длину отрезка $DK$ можно вычислить как полуразность оснований:
$DK = \frac{AD - BC}{2} = \frac{18 - 12}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.
Теперь в прямоугольном треугольнике $CKD$ найдем высоту трапеции $CK$, которая является катетом. Используя тангенс угла $\angle CDK$, получаем:
$CK = DK \cdot \tan(\angle CDK) = 3 \cdot \tan(30°) = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$ см.
Для нахождения диагонали $AC$ рассмотрим другой прямоугольный треугольник — $ACK$. Его катетами являются высота $CK$ и отрезок $AK$. Длину отрезка $AK$ находим как разность $AD$ и $DK$:
$AK = AD - DK = 18 - 3 = 15$ см.
Применим теорему Пифагора к треугольнику $ACK$:
$AC^2 = AK^2 + CK^2$
$AC^2 = 15^2 + (\sqrt{3})^2 = 225 + 3 = 228$
$AC = \sqrt{228} = \sqrt{4 \cdot 57} = 2\sqrt{57}$ см.

Ответ: $2\sqrt{57}$ см.