Номер 203, страница 60 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

203. Из точки, находящейся на расстоянии 8 см от прямой, проведены две наклонные, образующие с этой прямой углы $30^\circ$ и $45^\circ$. Найдите длины наклонных.

203. Из точки, находящейся на расстоянии 8 см от прямой, проведены две наклонные, образующие с этой прямой углы $30^\circ$ и $45^\circ$. Найдите длины наклонных.

Пусть из точки $A$, удаленной от прямой $l$, опущен перпендикуляр $AH$ на эту прямую. Длина этого перпендикуляра и есть расстояние от точки до прямой, то есть $AH = 8$ см. Из точки $A$ проведены две наклонные $AB$ и $AC$ к прямой $l$ (точки $B$ и $C$ лежат на прямой $l$). Углы, которые эти наклонные образуют с прямой, равны $\angle ABH = 30^\circ$ и $\angle ACH = 45^\circ$. Перпендикуляр $AH$ и наклонные $AB$ и $AC$ с их проекциями $HB$ и $HC$ образуют два прямоугольных треугольника: $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$.

1. Найдем длину первой наклонной.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AHB$ ($\angle AHB = 90^\circ$). В нем известен катет $AH = 8$ см, который лежит напротив угла $\angle ABH = 30^\circ$. Длина наклонной $AB$ является гипотенузой в этом треугольнике.
По определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике:
$\sin(\angle ABH) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AH}{AB}$
Подставим известные значения. Мы знаем, что $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.
$\frac{1}{2} = \frac{8}{AB}$
Из этого уравнения находим длину $AB$:
$AB = 8 \cdot 2 = 16$ см.

2. Найдем длину второй наклонной.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AHC$ ($\angle AHC = 90^\circ$). В нем известен катет $AH = 8$ см и острый угол $\angle ACH = 45^\circ$. Длина наклонной $AC$ является гипотенузой.
Аналогично, используем определение синуса:
$\sin(\angle ACH) = \frac{AH}{AC}$
Подставим известные значения. Мы знаем, что $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{8}{AC}$
Из этого уравнения находим длину $AC$:
$AC = \frac{8 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{16}{\sqrt{2}}$
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:
$AC = \frac{16 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{16\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2}$ см.

Ответ: длины наклонных равны 16 см и $8\sqrt{2}$ см.