Номер 206, страница 61 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

206. Сторона ромба равна $a$, а один из углов равен $\alpha$. Найдите диагонали ромба.

206. Сторона ромба равна $a$, а один из углов равен $\alpha$. Найдите диагонали ромба.

Пусть дан ромб со стороной $a$ и одним из углов, равным $\alpha$. Обозначим его диагонали как $d_1$ и $d_2$.

Воспользуемся свойствами ромба:

1. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом ($90^\circ$) и в точке пересечения делятся пополам.
2. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Таким образом, диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из таких треугольников.

Гипотенуза этого треугольника равна стороне ромба $a$. Катеты равны половинам диагоналей: $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$. Поскольку диагонали являются биссектрисами, то углы этого треугольника, прилежащие к гипотенузе, равны $\frac{\alpha}{2}$ и $\frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.

Теперь, используя определения синуса и косинуса для острого угла $\frac{\alpha}{2}$ в этом прямоугольном треугольнике, найдем длины катетов:

Синус угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Пусть катет, противолежащий углу $\frac{\alpha}{2}$, равен $\frac{d_1}{2}$:

$\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{d_1/2}{a}$

Выразим отсюда диагональ $d_1$:

$d_1 = 2a \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Косинус угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Катет, прилежащий к углу $\frac{\alpha}{2}$, равен $\frac{d_2}{2}$:

$\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{d_2/2}{a}$

Выразим отсюда диагональ $d_2$:

$d_2 = 2a \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Ответ: Диагонали ромба равны $2a \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$ и $2a \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.