Номер 201, страница 60 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

201. Решите прямоугольный треугольник $ABC (\angle C = 90^\circ)$ по известным элементам:

1) $AB = 12$ см, $\angle B = 53^\circ$;

2) $AC = 10$ см, $\angle B = 73^\circ$;

3) $AB = 14$ см, $BC = 6$ см;

4) $BC = 9$ см, $AC = 12$ см.

201. Решите прямоугольный треугольник $ABC (\angle C = 90^\circ)$ по известным элементам:

1) $AB = 12$ см, $\angle B = 53^\circ$;

2) $AC = 10$ см, $\angle B = 73^\circ$;

3) $AB = 14$ см, $BC = 6$ см;

4) $BC = 9$ см, $AC = 12$ см.

Решение прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle C=90^\circ$) означает нахождение всех его неизвестных сторон и углов по известным элементам.

1) Дано: гипотенуза $AB = 12$ см, $\angle B = 53^\circ$.

Решение:

1. Найдём угол $A$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$.
$\angle A = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - 53^\circ = 37^\circ$.

2. Найдём катет $AC$. $AC$ является противолежащим катетом для угла $B$.
Из определения синуса: $\sin(\angle B) = \frac{AC}{AB}$.
$AC = AB \cdot \sin(\angle B) = 12 \cdot \sin(53^\circ) \approx 12 \cdot 0.7986 \approx 9.58$ см.

3. Найдём катет $BC$. $BC$ является прилежащим катетом для угла $B$.
Из определения косинуса: $\cos(\angle B) = \frac{BC}{AB}$.
$BC = AB \cdot \cos(\angle B) = 12 \cdot \cos(53^\circ) \approx 12 \cdot 0.6018 \approx 7.22$ см.

Ответ: $\angle A = 37^\circ, AC \approx 9.58$ см, $BC \approx 7.22$ см.

2) Дано: катет $AC = 10$ см, $\angle B = 73^\circ$.

Решение:

1. Найдём угол $A$.
$\angle A = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - 73^\circ = 17^\circ$.

2. Найдём гипотенузу $AB$.
Из определения синуса: $\sin(\angle B) = \frac{AC}{AB}$.
$AB = \frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{10}{\sin(73^\circ)} \approx \frac{10}{0.9563} \approx 10.46$ см.

3. Найдём катет $BC$.
Из определения тангенса: $\tan(\angle A) = \frac{BC}{AC}$.
$BC = AC \cdot \tan(\angle A) = 10 \cdot \tan(17^\circ) \approx 10 \cdot 0.3057 \approx 3.06$ см.

Ответ: $\angle A = 17^\circ, AB \approx 10.46$ см, $BC \approx 3.06$ см.

3) Дано: гипотенуза $AB = 14$ см, катет $BC = 6$ см.

Решение:

1. Найдём катет $AC$ по теореме Пифагора: $AC^2 + BC^2 = AB^2$.
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{14^2 - 6^2} = \sqrt{196 - 36} = \sqrt{160} = \sqrt{16 \cdot 10} = 4\sqrt{10}$ см.
Приближённое значение: $AC \approx 12.65$ см.

2. Найдём угол $A$.
Из определения синуса: $\sin(\angle A) = \frac{BC}{AB} = \frac{6}{14} = \frac{3}{7}$.
$\angle A = \arcsin(\frac{3}{7}) \approx 25.4^\circ$.

3. Найдём угол $B$.
$\angle B = 90^\circ - \angle A \approx 90^\circ - 25.4^\circ = 64.6^\circ$.

Ответ: $AC = 4\sqrt{10} \approx 12.65$ см, $\angle A \approx 25.4^\circ, \angle B \approx 64.6^\circ$.

4) Дано: катет $BC = 9$ см, катет $AC = 12$ см.

Решение:

1. Найдём гипотенузу $AB$ по теореме Пифагора: $AB^2 = AC^2 + BC^2$.
$AB = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$ см.

2. Найдём угол $A$.
Из определения тангенса: $\tan(\angle A) = \frac{BC}{AC} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} = 0.75$.
$\angle A = \arctan(0.75) \approx 36.9^\circ$.

3. Найдём угол $B$.
$\angle B = 90^\circ - \angle A \approx 90^\circ - 36.9^\circ = 53.1^\circ$.

Ответ: $AB = 15$ см, $\angle A \approx 36.9^\circ, \angle B \approx 53.1^\circ$.