Номер 202, страница 60 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

202. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB = BC$) известно, что высота $BD$ равна 6 см, $\angle A = 24^\circ$. Найдите боковую сторону и основание треугольника.

202. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB = BC$) известно, что высота $BD$ равна 6 см, $\angle A = 24^{\circ}$. Найдите боковую сторону и основание треугольника.

Поскольку треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$ ($AB=BC$), высота $BD$, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Это означает, что высота $BD$ делит треугольник $ABC$ на два равных прямоугольных треугольника, $ABD$ и $CBD$. Также, точка $D$ является серединой основания $AC$, то есть $AC = 2 \cdot AD$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$, в котором:
- $\angle BDA = 90^\circ$
- катет $BD = 6$ см (высота)
- $\angle A = 24^\circ$

Боковая сторона
Боковая сторона $AB$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $ABD$. Для нахождения гипотенузы, зная противолежащий катет ($BD$) и угол ($\angle A$), воспользуемся определением синуса:
$\sin(\angle A) = \frac{BD}{AB}$
Выразим отсюда $AB$:
$AB = \frac{BD}{\sin(\angle A)} = \frac{6}{\sin(24^\circ)}$ (см)
Ответ: боковая сторона равна $\frac{6}{\sin(24^\circ)}$ см.

Основание
Основание треугольника $AC$ равно удвоенной длине отрезка $AD$ ($AC = 2 \cdot AD$). Отрезок $AD$ является катетом, прилежащим к углу $A$ в прямоугольном треугольнике $ABD$. Для его нахождения, зная противолежащий катет ($BD$) и угол ($\angle A$), воспользуемся определением тангенса:
$\tan(\angle A) = \frac{BD}{AD}$
Выразим отсюда $AD$:
$AD = \frac{BD}{\tan(\angle A)} = \frac{6}{\tan(24^\circ)}$ (см)
Теперь найдем длину основания $AC$:
$AC = 2 \cdot AD = 2 \cdot \frac{6}{\tan(24^\circ)} = \frac{12}{\tan(24^\circ)}$ (см)
Ответ: основание равно $\frac{12}{\tan(24^\circ)}$ см.