Номер 151, страница 54 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

151. Точка E удалена на 6 см от центра окружности радиуса 10 см. Через точку E проведена хорда длиной 16 см. Найдите отрезки, на которые точка E делит эту хорду.

151. Точка $E$ удалена на 6 см от центра окружности радиуса 10 см. Через точку $E$ проведена хорда длиной 16 см. Найдите отрезки, на которые точка $E$ делит эту хорду.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой о произведении отрезков пересекающихся хорд.

Пусть $O$ — центр окружности, а $R$ — ее радиус. По условию, радиус $R = 10$ см. Точка $E$ находится на расстоянии $OE = 6$ см от центра. Через точку $E$ проведена хорда $AB$ длиной $16$ см. Необходимо найти длины отрезков $AE$ и $EB$, на которые точка $E$ делит эту хорду.

Проведем через точку $E$ и центр окружности $O$ диаметр $CD$. Этот диаметр также является хордой. Точка $E$ делит диаметр на два отрезка: $CE$ и $ED$. Их длины можно вычислить, зная радиус $R$ и расстояние $OE$ от центра до точки $E$:
Длина отрезка $CE = R - OE = 10 - 6 = 4$ см.
Длина отрезка $ED = R + OE = 10 + 6 = 16$ см.

Согласно теореме о пересекающихся хордах, произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды. Для хорд $AB$ и $CD$, которые пересекаются в точке $E$, справедливо равенство:
$AE \cdot EB = CE \cdot ED$

Подставим в это равенство найденные длины отрезков $CE$ и $ED$:$
$AE \cdot EB = 4 \cdot 16 = 64$

Также мы знаем, что сумма длин отрезков $AE$ и $EB$ равна общей длине хорды $AB$:$
$AE + EB = 16$

Теперь у нас есть система двух уравнений. Пусть длина отрезка $AE$ равна $x$. Тогда из второго уравнения длина отрезка $EB$ будет равна $16 - x$. Подставим эти выражения в первое уравнение:
$x(16 - x) = 64$
Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:
$16x - x^2 = 64$
$x^2 - 16x + 64 = 0$

Левая часть этого уравнения представляет собой полный квадрат разности:
$(x - 8)^2 = 0$
Отсюда следует, что $x - 8 = 0$, а значит $x = 8$.

Таким образом, длина одного отрезка $AE = 8$ см. Тогда длина второго отрезка $EB = 16 - x = 16 - 8 = 8$ см.

Ответ: 8 см и 8 см.