Номер 157, страница 55 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

157. Докажите, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, изображённые на рисунке 70, подобны (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 70

$AB = 12$

$BC = 16$

$AC = 24$

$A_1B_1 = 6$

$B_1C_1 = 8$

$A_1C_1 = 12$

157. Докажите, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, изображенные на рисунке 70, подобны (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 70

$AB = 12$

$BC = 16$

$AC = 24$

$A_1B_1 = 6$

$B_1C_1 = 8$

$A_1C_1 = 12$

Для того чтобы доказать, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны, воспользуемся третьим признаком подобия треугольников (по трём сторонам). Согласно этому признаку, два треугольника подобны, если три стороны одного треугольника пропорциональны трём соответственным сторонам другого.

Из рисунка известны длины сторон треугольника $ABC$: $AB = 12$ см, $BC = 16$ см, $AC = 24$ см.

Также известны длины сторон треугольника $A_1B_1C_1$: $A_1B_1 = 6$ см, $B_1C_1 = 8$ см, $A_1C_1 = 12$ см.

Чтобы проверить условие пропорциональности, найдём отношения длин соответственных сторон. Соответственными будем считать стороны, сопоставленные по их длинам (наименьшая к наименьшей, средняя к средней, наибольшая к наибольшей).

1. Найдём отношение длин наименьших сторон: $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{12}{6} = 2$

2. Найдём отношение длин средних сторон: $\frac{BC}{B_1C_1} = \frac{16}{8} = 2$

3. Найдём отношение длин наибольших сторон: $\frac{AC}{A_1C_1} = \frac{24}{12} = 2$

Так как отношения всех трёх пар соответственных сторон равны одному и тому же числу: $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = 2$

...то условие третьего признака подобия выполняется. Следовательно, треугольник $ABC$ подобен треугольнику $A_1B_1C_1$ ($\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$) с коэффициентом подобия $k=2$, что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны, так как их соответственные стороны пропорциональны ($\frac{12}{6} = \frac{16}{8} = \frac{24}{12} = 2$).