Страница 40 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

26. Постройте параллелограмм $ABCD$, если заданы его вершина $A$ и точки $M$ и $N$ – середины сторон $AB$ и $CD$ соответственно.

26. Постройте параллелограмм $ABCD$, если заданы его вершина $A$ и точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $CD$ соответственно.

Анализ

Пусть $ABCD$ — искомый параллелограмм. Точка $M$ — середина стороны $AB$, а точка $N$ — середина стороны $CD$.

1. Поскольку $M$ является серединой отрезка $AB$, то точка $B$ симметрична точке $A$ относительно точки $M$. Это означает, что $B$ можно найти, продолжив отрезок $AM$ за точку $M$ на его же длину ($AM=MB$). В векторной форме это можно записать как $\vec{AB} = 2\vec{AM}$.

2. В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны равны и параллельны, поэтому $\vec{AB} = \vec{DC}$ и $\vec{AD} = \vec{BC}$.

3. Рассмотрим четырехугольник $AMND$. Так как $M$ и $N$ — середины противоположных сторон $AB$ и $CD$ параллелограмма $ABCD$, то $AM = \frac{1}{2}AB$ и $DN = \frac{1}{2}DC$. Поскольку $AB = DC$ и прямые, содержащие $AB$ и $CD$, параллельны, то отрезки $AM$ и $DN$ также равны по длине и параллельны ($AM = DN$, $AM \parallel DN$). По признаку параллелограмма (если две стороны четырехугольника равны и параллельны), $AMND$ является параллелограммом.

4. Из того, что $AMND$ — параллелограмм, следует, что его противоположные стороны $AD$ и $MN$ также равны и параллельны. Это означает, что $\vec{AD} = \vec{MN}$. Данное свойство дает нам ключ к построению точки $D$: ее можно найти, выполнив параллельный перенос точки $A$ на вектор $\vec{MN}$.

5. После того как вершины $A$, $B$ и $D$ будут известны, вершину $C$ можно найти несколькими способами. Например, так как $N$ — середина $CD$, точка $C$ будет симметрична точке $D$ относительно точки $N$ ($DN=NC$). Или можно использовать свойство параллелограмма: $\vec{BC} = \vec{AD}$ или $\vec{DC} = \vec{AB}$.

Построение

Задача решается в несколько шагов с помощью циркуля и линейки:

1. Нахождение вершины B. Проводим прямую через точки $A$ и $M$. С помощью циркуля откладываем на этой прямой от точки $M$ отрезок $MB$, равный отрезку $AM$, так, чтобы точка $M$ лежала между $A$ и $B$. Точка $B$ найдена.
2. Нахождение вершины D. Соединяем точки $M$ и $N$ отрезком. Теперь нужно построить точку $D$ так, чтобы четырехугольник $AMND$ был параллелограммом. Для этого проводим через точку $A$ прямую, параллельную прямой $MN$, и через точку $N$ прямую, параллельную прямой $AM$. Точка их пересечения будет вершиной $D$. (Альтернативный способ с циркулем: строим окружность с центром в $A$ и радиусом $MN$, и окружность с центром в $N$ и радиусом $AM$; их пересечение даст точку $D$).
3. Нахождение вершины C. Теперь, зная $D$ и $N$, находим $C$. Проводим прямую через точки $D$ и $N$. С помощью циркуля откладываем на этой прямой от точки $N$ отрезок $NC$, равный отрезку $DN$, так, чтобы точка $N$ лежала между $D$ и $C$. Точка $C$ найдена.
4. Завершение. Соединяем последовательно точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Четырехугольник $ABCD$ — искомый параллелограмм.

Доказательство

Докажем, что построенный четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом и удовлетворяет условиям задачи.

1. По построению (шаг 1), точка $M$ является серединой отрезка $AB$.
2. По построению (шаг 3), точка $N$ является серединой отрезка $CD$.
3. По построению (шаг 2), четырехугольник $AMND$ является параллелограммом, так как его противоположные стороны попарно параллельны. Следовательно, отрезки $AM$ и $DN$ равны и параллельны.
4. Из того, что $M$ — середина $AB$, следует $AB = 2AM$. Из того, что $N$ — середина $CD$, следует $CD = 2DN$. Так как из предыдущего пункта $AM = DN$, то и $AB = CD$.
5. Прямые, содержащие стороны $AB$ и $CD$, параллельны, так как на них лежат параллельные отрезки $AM$ и $DN$.
6. В четырехугольнике $ABCD$ две противоположные стороны ($AB$ и $CD$) равны и параллельны. По признаку параллелограмма, $ABCD$ — параллелограмм.

Таким образом, построенный четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом, в котором $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Построение верно.

Ответ: Последовательность шагов, описанная в разделе "Построение", позволяет построить искомый параллелограмм $ABCD$.

27. Постройте параллелограмм $ABCD$, если заданы его вершина $A$, точка $M$ — середина стороны $AB$, точка $O$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма.

27. Постройте параллелограмм $ABCD$, если заданы его вершина $A$, точка $M$ — середина стороны $AB$, точка $O$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма.

Для построения параллелограмма $ABCD$ по заданной вершине $A$, середине $M$ стороны $AB$ и точке пересечения диагоналей $O$, необходимо выполнить следующие действия, основанные на свойствах параллелограмма.

Построение основывается на следующих свойствах параллелограмма:

• Так как точка $M$ — середина стороны $AB$, то вершина $B$ симметрична вершине $A$ относительно точки $M$. Это позволяет найти положение вершины $B$.
• Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, точка $O$ является серединой диагоналей $AC$ и $BD$. Это позволяет найти сначала вершину $C$ (как симметричную $A$ относительно $O$), а затем вершину $D$ (как симметричную $B$ относительно $O$).

1. Нахождение вершины B: Проводим луч с началом в точке $A$, проходящий через точку $M$. На этом луче откладываем от точки $M$ отрезок $MB$, равный по длине отрезку $AM$. Полученная точка $B$ является второй вершиной параллелограмма.
2. Нахождение вершины C: Проводим луч с началом в точке $A$, проходящий через точку $O$. На этом луче откладываем от точки $O$ отрезок $OC$, равный по длине отрезку $AO$. Полученная точка $C$ является третьей вершиной параллелограмма.
3. Нахождение вершины D: Проводим луч с началом в точке $B$, проходящий через точку $O$. На этом луче откладываем от точки $O$ отрезок $OD$, равный по длине отрезку $BO$. Полученная точка $D$ является четвертой вершиной параллелограмма.
4. Завершение: Последовательно соединяем отрезками точки $A, B, C$ и $D$. Четырехугольник $ABCD$ — искомый параллелограмм.

В построенном четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. По построению, $AO = OC$ и $BO = OD$, то есть точка $O$ делит обе диагонали пополам. Согласно признаку параллелограмма, четырехугольник, у которого диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, является параллелограммом. Также по построению точка $M$ является серединой стороны $AB$. Таким образом, построенный четырехугольник $ABCD$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Искомый параллелограмм $ABCD$ построен путем последовательного нахождения его вершин $B$, $C$ и $D$ с использованием свойств симметрии относительно заданных точек $M$ и $O$.

28. В четырёхугольнике $ABCD$ стороны $AB$ и $CD$ параллельны. Какое ещё условие должно выполняться для сторон $AB$ и $CD$, чтобы четырёхугольник $ABCD$ был параллелограммом?

28. В четырёхугольнике $ABCD$ стороны $AB$ и $CD$ параллельны. Какое ещё условие должно выполняться для сторон $AB$ и $CD$, чтобы четырёхугольник $ABCD$ был параллелограммом?

Для того чтобы четырехугольник являлся параллелограммом, его противоположные стороны должны быть попарно параллельны. По условию задачи, в четырехугольнике $ABCD$ стороны $AB$ и $CD$ уже параллельны ($AB \parallel CD$).

Чтобы четырехугольник $ABCD$ стал параллелограммом, необходимо, чтобы и вторая пара противоположных сторон, $BC$ и $AD$, также была параллельна.

Рассмотрим признак параллелограмма, который связывает одну пару противоположных сторон:
Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

В задаче уже дано, что стороны $AB$ и $CD$ параллельны. Согласно указанному признаку, для того чтобы четырехугольник $ABCD$ был параллелограммом, необходимо добавить условие равенства длин этих же сторон.

Таким образом, дополнительное условие, которое должно выполняться для сторон $AB$ и $CD$, заключается в том, что их длины должны быть равны: $AB = CD$.

Доказательство:
Пусть в четырехугольнике $ABCD$ известно, что $AB \parallel CD$ и $AB = CD$. Проведем диагональ $AC$.
Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$. В них:
1. $AB = CD$ (по условию).
2. $AC$ — общая сторона.
3. $\angle BAC = \angle DCA$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$).
Следовательно, $\triangle ABC = \triangle CDA$ по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).
Из равенства треугольников следует, что равны и другие их соответственные элементы, в частности, углы: $\angle BCA = \angle DAC$.
Эти углы являются накрест лежащими при прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$. Так как они равны, то прямые $BC$ и $AD$ параллельны.
В итоге мы получили, что в четырехугольнике $ABCD$ обе пары противоположных сторон параллельны ($AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$), значит, $ABCD$ — параллелограмм по определению.

Ответ: стороны $AB$ и $CD$ должны быть равны по длине ($AB = CD$).

29. В четырёхугольнике $ABCD$ (рис. 45) $BO = OD$, $\angle ABD = \angle CDB$. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм.

Рис. 45

29. В четырёхугольнике $ABCD$ (рис. 45) $BO = OD$, $\angle ABD = \angle CDB$. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм.

Рис. 45

Для доказательства того, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом, воспользуемся его признаками.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$. В них:
а) $BO = OD$ по условию задачи.
б) $\angle ABD = \angle CDB$ по условию задачи. Эти углы также можно обозначить как $\angle ABO = \angle CDO$.
в) $\angle AOB = \angle COD$ как вертикальные углы.

2. Из этого следует, что треугольник $\triangle AOB$ равен треугольнику $\triangle COD$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

3. Так как треугольники равны, то равны и их соответствующие элементы. Следовательно, сторона $AO$ равна стороне $OC$ ($AO = OC$), и сторона $AB$ равна стороне $CD$ ($AB = CD$).

4. Также из условия, что накрест лежащие углы $\angle ABD$ и $\angle CDB$ равны при прямых $AB$, $CD$ и секущей $BD$, следует, что прямые $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$).

5. Теперь у нас есть два способа завершить доказательство:

Способ 1:
В четырёхугольнике ABCD диагонали AC и BD в точке пересечения O делятся пополам, так как $BO = OD$ (по условию) и $AO = OC$ (доказано в п. 3). По признаку параллелограмма, если диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Способ 2:
В четырёхугольнике ABCD две противоположные стороны $AB$ и $CD$ равны ($AB = CD$, доказано в п. 3) и параллельны ($AB \parallel CD$, доказано в п. 4). По признаку параллелограмма, если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Оба способа приводят к выводу, что ABCD — параллелограмм.

Ответ: Утверждение, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом, доказано.

30. На рисунке 46 четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм. На прямой $AC$ отметили точки $M$ и $N$, а на прямой $BD$ — точки $K$ и $P$ так, что $AM = CN$ и $BP = DK$. Докажите, что четырёхугольник $KMPN$ — параллелограмм.

Рис. 46

30. На рисунке 46 четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм. На прямой $AC$ отметили точки $M$ и $N$, а на прямой $BD$ — точки $K$ и $P$ так, что $AM = CN$ и $BP = DK$. Докажите, что четырёхугольник $KMPN$ — параллелограмм.

Рис. 46

По условию, четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Тогда $O$ является серединой $AC$ и $BD$, из чего следует, что $AO = CO$ и $BO = DO$.
Для того чтобы доказать, что четырёхугольник $KMPN$ является параллелограммом, достаточно доказать, что его диагонали $MN$ и $KP$ пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Докажем, что точка $O$ является серединой обеих этих диагоналей.
1. Рассмотрим диагональ $MN$. Точки $M$, $A$, $C$, $N$ лежат на одной прямой. Из рисунка видно, что точка $A$ лежит между $M$ и $O$, а точка $C$ — между $O$ и $N$. Тогда длины отрезков $OM$ и $ON$ можно выразить следующим образом:
$OM = AM + AO$
$ON = CN + CO$
По условию задачи $AM = CN$. Так как $O$ — середина диагонали $AC$, то $AO = CO$.
Следовательно, $OM = AM + AO = CN + CO = ON$.
Поскольку $OM = ON$ и точки $M$, $O$, $N$ лежат на одной прямой, точка $O$ является серединой отрезка $MN$.
2. Рассмотрим диагональ $KP$. Точки $K$, $D$, $B$, $P$ лежат на одной прямой. Из рисунка видно, что точка $D$ лежит между $K$ и $O$, а точка $B$ — между $O$ и $P$. Тогда длины отрезков $OK$ и $OP$ можно выразить следующим образом:
$OK = DK + DO$
$OP = BP + BO$
По условию задачи $BP = DK$. Так как $O$ — середина диагонали $BD$, то $BO = DO$.
Следовательно, $OK = DK + DO = BP + BO = OP$.
Поскольку $OK = OP$ и точки $K$, $O$, $P$ лежат на одной прямой, точка $O$ является серединой отрезка $KP$.
Таким образом, диагонали четырёхугольника $KMPN$ пересекаются в точке $O$ и делятся ею пополам. По признаку параллелограмма, четырёхугольник $KMPN$ является параллелограммом.

Ответ: Доказано, что четырёхугольник KMPN — параллелограмм.

31. На рисунке 47 $AB = CD$, $BE = CF$, $AE = DF$. Найдите отрезок $AF$, если $BC = 6 \text{ см}$, $DE = 10 \text{ см}$.

Рис. 47

31. На рисунке 47 $AB = CD$, $BE = CF$, $AE = DF$. Найдите отрезок $AF$, если $BC = 6$ см, $DE = 10$ см.

Рис. 47

Найдем длину отрезка $AF$. По рисунку видно, что отрезок $AF$ состоит из трех отрезков: $AD$, $DE$ и $EF$. Таким образом, его длина равна сумме длин этих отрезков:
$AF = AD + DE + EF$.

В условии задачи дано, что $AE = DF$. Разложим отрезки $AE$ и $DF$ на составные части:
$AE = AD + DE$
$DF = DE + EF$

Поскольку $AE = DF$, мы можем приравнять их выражения:
$AD + DE = DE + EF$
Вычитая $DE$ из обеих частей равенства, получаем:
$AD = EF$.

Теперь рассмотрим треугольники $\Delta ABE$ и $\Delta DCF$. Из условия задачи нам известны следующие равенства их сторон:
1. $AB = CD$
2. $BE = CF$
3. $AE = DF$
Эти условия означают, что треугольник $\Delta DCF$ является образом треугольника $\Delta ABE$ при параллельном переносе. Пусть $\vec{v}$ — вектор этого переноса. Тогда точка $D$ является образом точки $A$, точка $C$ — образом точки $B$, и точка $F$ — образом точки $E$.

Из определения параллельного переноса следует, что:
$\vec{AD} = \vec{v}$
$\vec{BC} = \vec{v}$
$\vec{EF} = \vec{v}$

Так как векторы $\vec{AD}$, $\vec{BC}$ и $\vec{EF}$ равны, то равны и их длины:
$AD = BC = EF$.

Из условия задачи известно, что $BC = 6$ см. Следовательно, $AD = 6$ см и $EF = 6$ см.

Теперь мы можем найти длину отрезка $AF$, используя известные длины всех его частей: $AD=6$ см, $DE=10$ см, $EF=6$ см.
$AF = AD + DE + EF = 6 \text{ см} + 10 \text{ см} + 6 \text{ см} = 22 \text{ см}$.

Ответ: 22 см.

32. Диагонали прямоугольника ABCD (рис. 48) пересекаются в точке O, $ \angle ODA = 35^\circ $. Найдите угол $ \angle AOB $.

Рис. 48

32. Диагонали прямоугольника $ABCD$ (рис. 48) пересекаются в точке $O$, $\angle ODA = 35^\circ$. Найдите угол $\angle AOB$.

Рис. 48

Поскольку ABCD — прямоугольник, его диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Отсюда следует, что отрезки, соединяющие точку пересечения диагоналей с вершинами, равны между собой:

$AO = BO = CO = DO$.

Рассмотрим треугольник $AOD$. Так как $AO = DO$, этот треугольник является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно:

$\angle OAD = \angle ODA = 35^\circ$.

Все углы прямоугольника равны $90^\circ$, поэтому $\angle DAB = 90^\circ$. Этот угол состоит из двух углов: $\angle OAD$ и $\angle OAB$.

$\angle DAB = \angle OAD + \angle OAB$.

Найдем угол $\angle OAB$:

$\angle OAB = \angle DAB - \angle OAD = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $AOB$. Так как $AO = BO$, он также является равнобедренным. Значит, углы при его основании $AB$ равны:

$\angle OBA = \angle OAB = 55^\circ$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника $AOB$ имеем:

$\angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180^\circ$.

Подставив известные значения, найдем искомый угол $\angle AOB$:

$\angle AOB = 180^\circ - (55^\circ + 55^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.

Ответ: $70^\circ$.