Номер 26, страница 40 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

26. Постройте параллелограмм $ABCD$, если заданы его вершина $A$ и точки $M$ и $N$ – середины сторон $AB$ и $CD$ соответственно.

26. Постройте параллелограмм $ABCD$, если заданы его вершина $A$ и точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $CD$ соответственно.

Анализ

Пусть $ABCD$ — искомый параллелограмм. Точка $M$ — середина стороны $AB$, а точка $N$ — середина стороны $CD$.

1. Поскольку $M$ является серединой отрезка $AB$, то точка $B$ симметрична точке $A$ относительно точки $M$. Это означает, что $B$ можно найти, продолжив отрезок $AM$ за точку $M$ на его же длину ($AM=MB$). В векторной форме это можно записать как $\vec{AB} = 2\vec{AM}$.

2. В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны равны и параллельны, поэтому $\vec{AB} = \vec{DC}$ и $\vec{AD} = \vec{BC}$.

3. Рассмотрим четырехугольник $AMND$. Так как $M$ и $N$ — середины противоположных сторон $AB$ и $CD$ параллелограмма $ABCD$, то $AM = \frac{1}{2}AB$ и $DN = \frac{1}{2}DC$. Поскольку $AB = DC$ и прямые, содержащие $AB$ и $CD$, параллельны, то отрезки $AM$ и $DN$ также равны по длине и параллельны ($AM = DN$, $AM \parallel DN$). По признаку параллелограмма (если две стороны четырехугольника равны и параллельны), $AMND$ является параллелограммом.

4. Из того, что $AMND$ — параллелограмм, следует, что его противоположные стороны $AD$ и $MN$ также равны и параллельны. Это означает, что $\vec{AD} = \vec{MN}$. Данное свойство дает нам ключ к построению точки $D$: ее можно найти, выполнив параллельный перенос точки $A$ на вектор $\vec{MN}$.

5. После того как вершины $A$, $B$ и $D$ будут известны, вершину $C$ можно найти несколькими способами. Например, так как $N$ — середина $CD$, точка $C$ будет симметрична точке $D$ относительно точки $N$ ($DN=NC$). Или можно использовать свойство параллелограмма: $\vec{BC} = \vec{AD}$ или $\vec{DC} = \vec{AB}$.

Построение

Задача решается в несколько шагов с помощью циркуля и линейки:

1. Нахождение вершины B. Проводим прямую через точки $A$ и $M$. С помощью циркуля откладываем на этой прямой от точки $M$ отрезок $MB$, равный отрезку $AM$, так, чтобы точка $M$ лежала между $A$ и $B$. Точка $B$ найдена.
2. Нахождение вершины D. Соединяем точки $M$ и $N$ отрезком. Теперь нужно построить точку $D$ так, чтобы четырехугольник $AMND$ был параллелограммом. Для этого проводим через точку $A$ прямую, параллельную прямой $MN$, и через точку $N$ прямую, параллельную прямой $AM$. Точка их пересечения будет вершиной $D$. (Альтернативный способ с циркулем: строим окружность с центром в $A$ и радиусом $MN$, и окружность с центром в $N$ и радиусом $AM$; их пересечение даст точку $D$).
3. Нахождение вершины C. Теперь, зная $D$ и $N$, находим $C$. Проводим прямую через точки $D$ и $N$. С помощью циркуля откладываем на этой прямой от точки $N$ отрезок $NC$, равный отрезку $DN$, так, чтобы точка $N$ лежала между $D$ и $C$. Точка $C$ найдена.
4. Завершение. Соединяем последовательно точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Четырехугольник $ABCD$ — искомый параллелограмм.

Доказательство

Докажем, что построенный четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом и удовлетворяет условиям задачи.

1. По построению (шаг 1), точка $M$ является серединой отрезка $AB$.
2. По построению (шаг 3), точка $N$ является серединой отрезка $CD$.
3. По построению (шаг 2), четырехугольник $AMND$ является параллелограммом, так как его противоположные стороны попарно параллельны. Следовательно, отрезки $AM$ и $DN$ равны и параллельны.
4. Из того, что $M$ — середина $AB$, следует $AB = 2AM$. Из того, что $N$ — середина $CD$, следует $CD = 2DN$. Так как из предыдущего пункта $AM = DN$, то и $AB = CD$.
5. Прямые, содержащие стороны $AB$ и $CD$, параллельны, так как на них лежат параллельные отрезки $AM$ и $DN$.
6. В четырехугольнике $ABCD$ две противоположные стороны ($AB$ и $CD$) равны и параллельны. По признаку параллелограмма, $ABCD$ — параллелограмм.

Таким образом, построенный четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом, в котором $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Построение верно.

Ответ: Последовательность шагов, описанная в разделе "Построение", позволяет построить искомый параллелограмм $ABCD$.