Номер 20, страница 39 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

20. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K, BK = 4 см и KC = 3 см. Найдите стороны параллелограмма.

20. Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$, $BK = 4$ см и $KC = 3$ см. Найдите стороны параллелограмма.

Пусть $ABCD$ — заданный параллелограмм, а $AK$ — биссектриса угла $A$, где точка $K$ лежит на стороне $BC$. Из условия задачи нам известно, что $BK = 4$ см и $KC = 3$ см.

1. Найдём длину стороны $BC$ параллелограмма. Она равна сумме длин отрезков $BK$ и $KC$:
$BC = BK + KC = 4 \text{ см} + 3 \text{ см} = 7 \text{ см}$.

2. В параллелограмме противоположные стороны параллельны. Следовательно, $AD \parallel BC$.

3. Рассмотрим параллельные прямые $AD$ и $BC$ и секущую $AK$. Углы $\angle DAK$ и $\angle BKA$ являются внутренними накрест лежащими, а значит, они равны: $\angle DAK = \angle BKA$.

4. По определению, биссектриса $AK$ делит угол $A$ на два равных угла: $\angle BAK = \angle DAK$.

5. Из равенств, полученных в пунктах 3 и 4, следует: $\angle BAK = \angle DAK$ и $\angle DAK = \angle BKA$, значит, $\angle BAK = \angle BKA$.

6. Рассмотрим треугольник $ABK$. Поскольку два его угла равны ($\angle BAK = \angle BKA$), этот треугольник является равнобедренным с основанием $AK$. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, то есть $AB = BK$.

7. Так как по условию $BK = 4$ см, то и сторона $AB = 4$ см.

8. В параллелограмме противоположные стороны равны. Таким образом:
$AB = CD = 4$ см.
$BC = AD = 7$ см.

Ответ: стороны параллелограмма равны 4 см, 7 см, 4 см, 7 см.