Номер 27, страница 40 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

27. Постройте параллелограмм $ABCD$, если заданы его вершина $A$, точка $M$ — середина стороны $AB$, точка $O$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма.

27. Постройте параллелограмм $ABCD$, если заданы его вершина $A$, точка $M$ — середина стороны $AB$, точка $O$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма.

Для построения параллелограмма $ABCD$ по заданной вершине $A$, середине $M$ стороны $AB$ и точке пересечения диагоналей $O$, необходимо выполнить следующие действия, основанные на свойствах параллелограмма.

Построение основывается на следующих свойствах параллелограмма:

• Так как точка $M$ — середина стороны $AB$, то вершина $B$ симметрична вершине $A$ относительно точки $M$. Это позволяет найти положение вершины $B$.
• Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, точка $O$ является серединой диагоналей $AC$ и $BD$. Это позволяет найти сначала вершину $C$ (как симметричную $A$ относительно $O$), а затем вершину $D$ (как симметричную $B$ относительно $O$).

1. Нахождение вершины B: Проводим луч с началом в точке $A$, проходящий через точку $M$. На этом луче откладываем от точки $M$ отрезок $MB$, равный по длине отрезку $AM$. Полученная точка $B$ является второй вершиной параллелограмма.
2. Нахождение вершины C: Проводим луч с началом в точке $A$, проходящий через точку $O$. На этом луче откладываем от точки $O$ отрезок $OC$, равный по длине отрезку $AO$. Полученная точка $C$ является третьей вершиной параллелограмма.
3. Нахождение вершины D: Проводим луч с началом в точке $B$, проходящий через точку $O$. На этом луче откладываем от точки $O$ отрезок $OD$, равный по длине отрезку $BO$. Полученная точка $D$ является четвертой вершиной параллелограмма.
4. Завершение: Последовательно соединяем отрезками точки $A, B, C$ и $D$. Четырехугольник $ABCD$ — искомый параллелограмм.

В построенном четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. По построению, $AO = OC$ и $BO = OD$, то есть точка $O$ делит обе диагонали пополам. Согласно признаку параллелограмма, четырехугольник, у которого диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, является параллелограммом. Также по построению точка $M$ является серединой стороны $AB$. Таким образом, построенный четырехугольник $ABCD$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Искомый параллелограмм $ABCD$ построен путем последовательного нахождения его вершин $B$, $C$ и $D$ с использованием свойств симметрии относительно заданных точек $M$ и $O$.