Номер 22, страница 39 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

22. В параллелограмме $ABCD$ угол $A$ равен $120^\circ$. Высота $AK$ делит сторону $CD$ в отношении $3:5$, считая от вершины тупого угла. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 108 см.

22. В параллелограмме $ABCD$ угол $A$ равен $120^\circ$. Высота $AK$ делит сторону $CD$ в отношении $3 : 5$, считая от вершины тупого угла. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен $108$ см.

Пусть $ABCD$ — данный параллелограмм. По условию, $\angle A = 120^\circ$. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $180^\circ$, поэтому $\angle D = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Противоположные углы параллелограмма равны, следовательно, $\angle C = \angle A = 120^\circ$ и $\angle B = \angle D = 60^\circ$.

Проведена высота $AK$ из вершины $A$ к стороне $CD$. Поскольку угол при вершине $D$ острый ($\angle D = 60^\circ$), основание высоты, точка $K$, будет лежать на отрезке $CD$.

Согласно условию, высота $AK$ делит сторону $CD$ в отношении $3:5$, считая от вершины тупого угла. Вершиной тупого угла на стороне $CD$ является вершина $C$, так как $\angle C = 120^\circ$. Таким образом, отрезки, на которые делится сторона $CD$, находятся в отношении $CK : KD = 3 : 5$.

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда $CK = 3x$ см, а $KD = 5x$ см. Длина всей стороны $CD$ будет равна сумме длин этих отрезков:$CD = CK + KD = 3x + 5x = 8x$ см.Так как в параллелограмме противоположные стороны равны, $AB = CD = 8x$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADK$ (поскольку $AK$ — высота, $\angle AKD = 90^\circ$). В этом треугольнике нам известен катет $KD = 5x$ и прилежащий к нему угол $\angle D = 60^\circ$. Мы можем найти гипотенузу $AD$, которая является второй стороной параллелограмма.Используя определение косинуса угла в прямоугольном треугольнике:$\cos(\angle D) = \frac{KD}{AD}$Отсюда выразим $AD$:$AD = \frac{KD}{\cos(\angle D)} = \frac{5x}{\cos(60^\circ)}$Так как $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:$AD = \frac{5x}{1/2} = 10x$ см.Следовательно, $BC = AD = 10x$ см.

Периметр параллелограмма вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$, где $a$ и $b$ — смежные стороны. В нашем случае $a = CD = 8x$ и $b = AD = 10x$. Периметр по условию равен 108 см. Составим и решим уравнение:$P = 2(8x + 10x) = 108$$2(18x) = 108$$36x = 108$$x = \frac{108}{36}$$x = 3$

Теперь, зная значение $x$, найдем длины сторон параллелограмма:$CD = AB = 8x = 8 \cdot 3 = 24$ см.$AD = BC = 10x = 10 \cdot 3 = 30$ см.

Ответ: стороны параллелограмма равны 24 см и 30 см.