Номер 24, страница 39 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

24. В параллелограмме $ABCD$ проведены высоты $AM$ и $AN$. Найдите периметр параллелограмма, если $AM = 8 \text{ см}$, $AN = 11 \text{ см}$, $\angle BCD = 30^\circ$.

24. В параллелограмме $ABCD$ проведены высоты $AM$ и $AN$. Найдите периметр параллелограмма, если $AM = 8 \text{ см}$, $AN = 11 \text{ см}$, $\angle BCD = 30^{\circ}$.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. По условию, проведены высоты $AM$ и $AN$ из вершины $A$. Известно, что $AM = 8$ см, $AN = 11$ см, и $\angle BCD = 30^{\circ}$.

В параллелограмме противолежащие углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, составляет $180^{\circ}$.

Найдем углы параллелограмма:

$\angle BAD = \angle BCD = 30^{\circ}$

$\angle ABC = \angle ADC = 180^{\circ} - \angle BCD = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}$

Площадь параллелограмма можно вычислить как произведение стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Таким образом, площадь $S$ можно выразить двумя способами:

$S = CD \cdot AM$ (если $AM \perp CD$)

$S = BC \cdot AN$ (если $AN \perp BC$)

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $AM$, опущенной на прямую $CD$. Так как угол $\angle ADC = 150^{\circ}$ (тупой), основание высоты $M$ будет лежать на продолжении стороны $DC$ за вершину $D$.

Рассмотрим $\triangle ADM$. Он является прямоугольным ($\angle AMD = 90^{\circ}$). Угол $\angle ADM$ смежен с углом $\angle ADC$, следовательно:

$\angle ADM = 180^{\circ} - \angle ADC = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в $30^{\circ}$, равен половине гипотенузы. В $\triangle ADM$ катет $AM$ лежит против угла $\angle ADM = 30^{\circ}$. Значит, гипотенуза $AD$ равна удвоенному катету $AM$:

$AD = 2 \cdot AM = 2 \cdot 8 = 16$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $AN$, опущенной на прямую $BC$. Так как угол $\angle ABC = 150^{\circ}$ (тупой), основание высоты $N$ будет лежать на продолжении стороны $CB$ за вершину $B$.

Рассмотрим $\triangle ABN$. Он является прямоугольным ($\angle ANB = 90^{\circ}$). Угол $\angle ABN$ смежен с углом $\angle ABC$, следовательно:

$\angle ABN = 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$

В прямоугольном треугольнике $\triangle ABN$ катет $AN$ лежит против угла $\angle ABN = 30^{\circ}$. Значит, гипотенуза $AB$ равна удвоенному катету $AN$:

$AB = 2 \cdot AN = 2 \cdot 11 = 22$ см.

Мы нашли длины смежных сторон параллелограмма: $AB = 22$ см и $AD = 16$ см.

Периметр параллелограмма $P_{ABCD}$ равен удвоенной сумме его смежных сторон:

$P_{ABCD} = 2(AB + AD) = 2(22 + 16) = 2 \cdot 38 = 76$ см.

Ответ: 76 см.