Номер 30, страница 40 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

30. На рисунке 46 четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм. На прямой $AC$ отметили точки $M$ и $N$, а на прямой $BD$ — точки $K$ и $P$ так, что $AM = CN$ и $BP = DK$. Докажите, что четырёхугольник $KMPN$ — параллелограмм.

Рис. 46

30. На рисунке 46 четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм. На прямой $AC$ отметили точки $M$ и $N$, а на прямой $BD$ — точки $K$ и $P$ так, что $AM = CN$ и $BP = DK$. Докажите, что четырёхугольник $KMPN$ — параллелограмм.

Рис. 46

По условию, четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Тогда $O$ является серединой $AC$ и $BD$, из чего следует, что $AO = CO$ и $BO = DO$.
Для того чтобы доказать, что четырёхугольник $KMPN$ является параллелограммом, достаточно доказать, что его диагонали $MN$ и $KP$ пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Докажем, что точка $O$ является серединой обеих этих диагоналей.
1. Рассмотрим диагональ $MN$. Точки $M$, $A$, $C$, $N$ лежат на одной прямой. Из рисунка видно, что точка $A$ лежит между $M$ и $O$, а точка $C$ — между $O$ и $N$. Тогда длины отрезков $OM$ и $ON$ можно выразить следующим образом:
$OM = AM + AO$
$ON = CN + CO$
По условию задачи $AM = CN$. Так как $O$ — середина диагонали $AC$, то $AO = CO$.
Следовательно, $OM = AM + AO = CN + CO = ON$.
Поскольку $OM = ON$ и точки $M$, $O$, $N$ лежат на одной прямой, точка $O$ является серединой отрезка $MN$.
2. Рассмотрим диагональ $KP$. Точки $K$, $D$, $B$, $P$ лежат на одной прямой. Из рисунка видно, что точка $D$ лежит между $K$ и $O$, а точка $B$ — между $O$ и $P$. Тогда длины отрезков $OK$ и $OP$ можно выразить следующим образом:
$OK = DK + DO$
$OP = BP + BO$
По условию задачи $BP = DK$. Так как $O$ — середина диагонали $BD$, то $BO = DO$.
Следовательно, $OK = DK + DO = BP + BO = OP$.
Поскольку $OK = OP$ и точки $K$, $O$, $P$ лежат на одной прямой, точка $O$ является серединой отрезка $KP$.
Таким образом, диагонали четырёхугольника $KMPN$ пересекаются в точке $O$ и делятся ею пополам. По признаку параллелограмма, четырёхугольник $KMPN$ является параллелограммом.

Ответ: Доказано, что четырёхугольник KMPN — параллелограмм.