Номер 35, страница 41 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

35. Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Медиана $OM$ треугольника $BOC$ перпендикулярна стороне $BC$. Докажите, что $ABCD$ — прямоугольник.

35. Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Медиана $OM$ треугольника $BOC$ перпендикулярна стороне $BC$. Докажите, что $ABCD$ — прямоугольник.

По условию, $ABCD$ — параллелограмм, диагонали которого ($AC$ и $BD$) пересекаются в точке $O$. Рассмотрим треугольник $BOC$, образованный двумя полудиагоналями и стороной параллелограмма.

В треугольнике $BOC$ отрезок $OM$ является медианой к стороне $BC$. По определению медианы, точка $M$ — середина стороны $BC$.

Также по условию, медиана $OM$ перпендикулярна стороне $BC$ ($OM \perp BC$), что означает, что $OM$ является также и высотой треугольника $BOC$.

Поскольку в треугольнике $BOC$ отрезок $OM$ является одновременно и медианой, и высотой, то этот треугольник является равнобедренным с основанием $BC$. Следовательно, его боковые стороны, прилежащие к вершине $O$, равны: $BO = CO$.

По свойству диагоналей параллелограмма, они точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что полные длины диагоналей равны удвоенным длинам их половин:

$AC = 2 \cdot CO$

$BD = 2 \cdot BO$

Так как мы установили, что $BO = CO$, то отсюда следует, что и $2 \cdot BO = 2 \cdot CO$, то есть $AC = BD$.

Мы доказали, что диагонали параллелограмма $ABCD$ равны. Параллелограмм, у которого диагонали равны, является прямоугольником.

Следовательно, $ABCD$ — прямоугольник, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.