Номер 29, страница 40 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

29. В четырёхугольнике $ABCD$ (рис. 45) $BO = OD$, $\angle ABD = \angle CDB$. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм.

Рис. 45

29. В четырёхугольнике $ABCD$ (рис. 45) $BO = OD$, $\angle ABD = \angle CDB$. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм.

Рис. 45

Для доказательства того, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом, воспользуемся его признаками.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$. В них:
а) $BO = OD$ по условию задачи.
б) $\angle ABD = \angle CDB$ по условию задачи. Эти углы также можно обозначить как $\angle ABO = \angle CDO$.
в) $\angle AOB = \angle COD$ как вертикальные углы.

2. Из этого следует, что треугольник $\triangle AOB$ равен треугольнику $\triangle COD$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

3. Так как треугольники равны, то равны и их соответствующие элементы. Следовательно, сторона $AO$ равна стороне $OC$ ($AO = OC$), и сторона $AB$ равна стороне $CD$ ($AB = CD$).

4. Также из условия, что накрест лежащие углы $\angle ABD$ и $\angle CDB$ равны при прямых $AB$, $CD$ и секущей $BD$, следует, что прямые $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$).

5. Теперь у нас есть два способа завершить доказательство:

Способ 1:
В четырёхугольнике ABCD диагонали AC и BD в точке пересечения O делятся пополам, так как $BO = OD$ (по условию) и $AO = OC$ (доказано в п. 3). По признаку параллелограмма, если диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Способ 2:
В четырёхугольнике ABCD две противоположные стороны $AB$ и $CD$ равны ($AB = CD$, доказано в п. 3) и параллельны ($AB \parallel CD$, доказано в п. 4). По признаку параллелограмма, если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Оба способа приводят к выводу, что ABCD — параллелограмм.

Ответ: Утверждение, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом, доказано.