Номер 23, страница 39 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

23. Два угла параллелограмма относятся как $3 : 7$. Найдите угол между высотами параллелограмма, проведёнными из вершины тупого угла.

23. Два угла параллелограмма относятся как $3 : 7$. Найдите угол между высотами параллелограмма, проведёнными из вершины тупого угла.

В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$, а противоположные углы равны. Поскольку данные в условии углы относятся как $3:7$, они не равны, следовательно, являются соседними. Обозначим их как $3x$ и $7x$.

Составим уравнение, исходя из свойства соседних углов:

$3x + 7x = 180^\circ$

$10x = 180^\circ$

$x = 18^\circ$

Теперь найдем величины углов параллелограмма:

Острый угол: $3 \cdot 18^\circ = 54^\circ$.

Тупой угол: $7 \cdot 18^\circ = 126^\circ$.

Пусть $ABCD$ — параллелограмм, где $\angle B$ и $\angle D$ — тупые углы ($126^\circ$), а $\angle A$ и $\angle C$ — острые углы ($54^\circ$). Проведём из вершины тупого угла $B$ высоты $BH$ на прямую $AD$ и $BK$ на прямую $CD$. Требуется найти угол $\angle HBK$.

Рассмотрим четырехугольник $HBKD$. Сумма его внутренних углов равна $360^\circ$. В этом четырехугольнике известны следующие углы:

$\angle BHD = 90^\circ$ (по определению высоты).

$\angle BKD = 90^\circ$ (по определению высоты).

$\angle D$ — это тупой угол параллелограмма, который равен $126^\circ$.

Найдем искомый угол $\angle HBK$ из уравнения для суммы углов четырехугольника:

$\angle HBK + \angle BHD + \angle D + \angle BKD = 360^\circ$

$\angle HBK + 90^\circ + 126^\circ + 90^\circ = 360^\circ$

$\angle HBK + 306^\circ = 360^\circ$

$\angle HBK = 360^\circ - 306^\circ = 54^\circ$

Таким образом, угол между высотами, проведёнными из вершины тупого угла, равен острому углу параллелограмма.

Ответ: $54^\circ$